Complexité du problème de couverture d'intervalle

Considérons le problème $Q$ suivant : On nous donne un entier et intervalles avec . On nous donne également entiers . La tâche consiste à sélectionner un nombre minimum d'intervalles $n$ $k$ $[l_i,r_i]$ $1\leq l_i\leq r_i\leq 2n$ $2n$ $d_1,…,d_{2n}\geq 0$ $[l_i,r_i]$ de telle sorte que pour chaque , au moins intervalles contenant l'entier sont sélectionnés. $i=1,…,2n$ $d_i$ $i$

Il n'est pas difficile de voir que peut être résolu en temps polynomial (voir ci-dessous). $Q$

Considérons maintenant le problème $Q’$ légèrement modifié : L'entrée du problème est la même que précédemment. Cependant, la tâche consiste maintenant à sélectionner un nombre minimum d'intervalles tel que pour chaque , au moins intervalles contenant l'entier ou au moins intervalles contenant l'entier sont sélectionnés (avec «ou» nous entendons le ou logique habituel). $i=1,…,n$ $d_{2i-1}$ $2i-1$ $d_{2i}$ $2i$

Ma question: peut-il être résolu en temps polynomial? $Q’$

Voici deux façons de résoudre efficacement: $Q$

Un algorithme simple et gourmand: balayez les intervalles de gauche à droite et ne sélectionnez que le nombre d'intervalles nécessaire pour «satisfaire» les nombres . Chaque fois qu'il y a un choix entre différents intervalles, choisissez celui (s) avec le point final droit maximal. $d_i$

Un programme entier: pour chaque intervalle introduisez une variable de décision avec si l'intervalle est sélectionné. L'objectif est de minimiser , soumis aux contraintes $[l_i,r_i]$ $x_i\in\{0,1\}$ $x_i=1$ $x_1+…+x_k$ $\sum_{j:i\in[l_j,r_j]} x_j\geq d_i$ . La matrice de contraintes de ce programme entier a les propriétés consécutives et donc la relaxation de programmation linéaire de ce programme a une solution optimale entière.

Merci pour toutes les astuces, et aussi pour les références!

cc.complexity-theory np-hardness

— Torsten Mütze
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Chaque instance de Q peut être transformée en une instance du problème de couverture de plusieurs ensembles, où les emplacements sont les intervalles , couvrant une séquence consécutive de points de demande (= entiers ). $[l_i,r_i]$ $d_i$

— Benjamin
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G = (V_{1}, V_{2}, E)

$G = (V_1,V_2,E)$

V_{1}

$V_1$

V_{1}

$V_1$

V_{2}

$V_2$