Comment un problème peut-il être en NP, être NP-dur et non NP-complet?

Pendant longtemps, j'ai pensé qu'un problème était NP-complet s'il était à la fois (1) NP-dur et (2) en NP.

Cependant, dans le célèbre article "La méthode ellipsoïde et ses conséquences dans l'optimisation combinatoire" , les auteurs affirment que le problème du nombre chromatique fractionnaire appartient à NP et est NP-difficile, mais n'est pas connu pour être NP-complet. Sur la troisième page de l'article, les auteurs écrivent:

... nous notons que le problème de sommation d'un graphe est dans un sens équivalent au problème du nombre chromatique fractionnaire, et commentons le phénomène selon lequel ce dernier problème est un exemple de problème dans qui est -hard mais (comme pour l'instant) pas connu pour être complet. $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

Comment est-ce possible? Me manque-t-il un détail subtil dans la définition de NP-complet?

— Austin Buchanan
source

Il semble que le problème soit le type de réductions utilisées pour chacun d'eux, et ils en utilisent différentes: ils signifient probablement " réductions réduites de Cook" et " réductions complètes de Karp". $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

Parfois, les gens utilisent la version de réduction Cook de dureté car elle est applicable à des problèmes de calcul plus généraux (pas seulement des problèmes de décision). Bien que la définition originale de la dureté et de la complétude utilisé des réductions de Cook (réductions de Turing en temps polynomial), il est devenu rare d'utiliser des réductions de Cook pour la complétude (sauf indication contraire explicite). Je ne me souviens d'aucun article récent qui a utilisé -complete pour signifier -complete par rapport aux réductions Cook. (En note, le premier problème à prouver à $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ -hard était TAUT pas SAT et l'exhaustivité de SAT est implicite dans cette preuve.)

Maintenant, si vous regardez la section 7 du document, au bas de la page 195, vous verrez qu'ils signifient des réductions de dureté dureté. $\mathsf{NP}$

Donc, ce qu'ils signifient ici, c'est que le problème est dans , est difficile pour les réductions de wrt Cook, mais il n'est pas connu qu'il soit difficile pour les réductions de wrt Karp (réductions de plusieurs un en temps polynomial). $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

— Kaveh
source

Voulez-vous dire DNF-Tautology by Taut? N'est-ce pas CoNP complet? Parce que CNF-Tautology est trivial.

— Tayfun Payez

@TayfunPay: Tautologie le plus probable pour les formules arbitraires non seulement CNF ou DNF. Et Co-NP-complete et NP-complete sont les mêmes réductions de Cook, ce qui est la raison pour laquelle Kaveh mentionne cette anecdote.

— frafl

@Tayfun, Cook le prouve pour les formules générales et l'utilise DNF-TAUT est un corollaire dans le papier. Les deux sont des réductions de cuisson NP- dur par rapport au cuisinier.

— Kaveh

@frafl, "NP-complete" est défini dans l'article de Karp de 1972 . Le document de 1971 de Cook définit les réductions Cook et prouve que TAUT est NP-hard wrt eux. Cela prouve également qu'un certain nombre de problèmes sont équivalents aux réductions de Cook. Cependant, la compacité NP n'est pas explicitement mentionnée dans le document original.

— Kaveh