Quelles sont les complexités des sous-ensembles SAT suivants?

Supposons que $P \neq NP$

Soit utiliser la notation suivante pour la tétration (ie. ${}^ia$ ). ${}^ia = \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}}_{i \mbox{ times}}$

| x | est la taille de l'instance x.

Soit L une langue, $L|_{f(i)\leq |x| < g(i)} := \{ x \in L \mbox{ | } \exists i \in \mathbb{N}\mbox{, } f(i) \leq |x| < g(i) \}$

Quelle est la complexité des langues suivantes:

$L_1 = SAT|_{{}^{2i}2 \leq |x| < {}^{2i+1}2}$ $L_2 = SAT|_{{}^{2i+1}2 \leq |x| < {}^{2i+2}2}$

Comme , ils ne peuvent pas être à la fois en P en supposant que . Comme ils ont tous deux des trous exponentiels, je ne pense pas que le SAT puisse être réduit à un. $L_1 \sqcup L_2 = SAT$ $P \neq NP$

Par conséquent, l'intuition serait qu'ils sont tous les deux dans NPI, mais je ne peux pas trouver de preuve ou de réfutation.

Deux autres langues sont $L_3 = SAT|_{|x|={}^{2i+1}2}$ $L_4 = SAT|_{|x|={}^{2i}2}$

Si l'un des deux est en NPC, l'autre est en P car pour chaque instance de l'un, il ne peut pas être transformé en une plus grande instance de l'autre car il est de taille exponentielle, et les petites instances ont une taille logarithmique. Toujours par intuition, il n'y a aucune raison pour qu'ils aient une complexité différente. Quelle serait leur complexité?

La preuve de Ladner des problèmes NPI sous l' hypothèse utilise des langages comme ou , mais et ne sont pas construits par diagonalisation. $P \neq NP$ $L_1$ $L_2$ $L_1$ $L_2$

cc.complexity-theory np-hardness complexity-classes

— Ludovic Patey
source

Vos langues ont de nombreuses instances qui sont complétées par l'ajout de clauses supplémentaires qui n'interagissent pas entre elles. Ils semblent donc NPI par l'argument de la diagonalisation de Schöning? dx.doi.org/10.1016/0304-3975(82)90114-1

— András Salamon

Après "ils ne peuvent pas être tous les deux en P", il faut dire "sous l'hypothèse que P

NP ..."

\neq

$\ne$

— Emil

J'ai ajouté "sous l'hypothèse" même si j'ai déjà défini cette hypothèse auparavant.

— Ludovic Patey

Si L1 ou L2 est NP-complet, alors la conjecture d'isomorphisme échoue, car ni L1 ni L2 n'est un cylindre (a une fonction de remplissage). Donc, prouver que l'un d'entre eux est NP-complet nécessite des techniques non relativisantes. Je ne vois pas encore d'obstacle à montrer que l'un d'entre eux n'est pas encore NP-complet.

— Joshua Grochow

J'ai peut-être été un peu flou avec mes quantificateurs. Permettez - moi d' ajouter entre parenthèses: il n'existe pas une machine oracle poly-temps

tel que [pour tous

[

résoud

]]. C'est, pour tout

, il se peut que pour certains X,

permet de résoudre l' une des langues, mais il ne peut pas être vrai pour tous

. Ainsi, par exemple,

sans l'oracle pourrait résoudre

(non relativisé), mais peu importe ce que

M

$M$

X

$X$

M^{X}

$M^X$

L_{1}^{X} o r L_{2}^{X}

$L_1^X or L_2^X$

M

$M$

M^{X}

$M^X$

X

$X$

M

$M$

L_{1}

$L_1$

M

$M$ est, il y aura un oracle tel qu'il ne résout pas les deux langues.

— Joshua Grochow

Je pense que les deux sont NPI dans l'hypothèse la plus forte (mais évidemment vraie) que NP n'est pas dans "infiniment souvent P" - c'est-à-dire que chaque algorithme de temps polynomial A et chaque n suffisamment grand, A ne parvient pas à résoudre SAT sur des entrées de longueur n.

Dans ce cas, de tels langages ne sont pas en P, mais ils ne peuvent pas non plus être NP complets, car sinon une réduction de SAT en un langage L avec de grands trous donnera un algorithme pour SAT qui réussit sur ces trous.

Une telle hypothèse est également nécessaire, car sinon les langues peuvent être en P, ou NP-complet, selon l'endroit où se trouvent les "longueurs d'entrée faciles".

— Boaz Barak
source

@Boaz: Je comprends en quelque sorte ce que vous entendez par "une telle supposition est nécessaire", mais j'ai du mal à formaliser la nécessité. Je pense que l'on construit un oracle

, sans trop de difficulté, tel que

, il existe une machine poly-temps

telle que

décide

sur une infinité de longueurs d'entrée, pourtant

sont

-intermédiaire.

X

$X$

P^{X} \neq N P^{X}

$P^X \neq NP^X$

M

$M$

M^{X}

$M^X$

S A T^{X}

$SAT^X$

L_{1}^{X}

$L_1^X$

L_{2}^{X}

$L_2^X$

N P^{X}

$NP^X$

— Joshua Grochow

N P \neq P

$NP\neq P$

N P \neq P

$NP\neq P$

L_{1}

$L_1$

L_{1}

$L_1$

P

$P$

L_{2}

$L_2$

X

$X$

P^{X} \neq N P^{X}

$P^X \neq NP^X$

L_{1}^{X} \in P

$L_1^X \in P$

L_{1}^{X} \in P

$L_1^X\in P$

M

$M$

L_{1}^{X}

$L_1^X$

M

$M$

L_{1}

$L_1$

X

$X$

P_{1} \in P

$P_1\in P$

M \in P^{X}

$M\in P^X$

S A T^{X}

$SAT^X$

X

$X$

S A T

$SAT$

X

$X$

X

$X$

S A T^{X}

$SAT^X$