Que sait-on de la complexité de trouver des circuits minimums pour SAT?

Que sait-on de la complexité de trouver des circuits minimaux qui calculent SAT jusqu'à la longueur ? $n$

Plus formellement: quelle est la complexité d'une fonction qui, étant donnée en entrée, sort un circuit minimal C tel que pour toute formule φ avec | φ | ≤ n , C ( φ ) = S A T ( φ ) ?$1^{n}$$C$$\varphi$$|\varphi| \leq n$$C(\varphi) = SAT(\varphi)$

(Je m'intéresse spécifiquement aux limites inférieures.)

L'algorithme déterministe naïf (calculer SAT par force brute jusqu'à la longueur , puis essayer tous les circuits par ordre de taille jusqu'à ce que vous en trouviez un qui calcule correctement SAT jusqu'à la longueur n ) prend ≤ 2 O ( n ) de temps pour calculer SAT, puis un temps O supplémentaire ( 2 n 2 M ) pour trouver un circuit minimal, où M est la taille du circuit minimal. $n$$n$$\leq 2^{O(n)}$$O(2^n 2^M)$$M$

Existe-t-il un algorithme déterministe qui trouve des circuits minimaux pour SAT dont le temps de fonctionnement est , où M est la taille du circuit minimal? Ou cela implique-t-il un effondrement de la complexité?$o(2^n 2^M)$$M$

Voici deux choses qui, bien que liées à ma question, ne sont certainement pas ce que je demande (ce qui est, je pense, pourquoi j'ai trouvé un peu difficile à rechercher):

• Le problème de minimisation de circuit: étant donné un circuit (ou une fonction f donnée par la table de vérité ou plusieurs autres variantes) trouver un circuit minimal C ' le calcul de la même fonction que C . Même si la minimisation des circuits était facile, cela n'impliquerait pas nécessairement que la tâche ci-dessus est facile, car même le calcul de la fonction que nous voulons minimiser (SAT jusqu'à la longueur n ) est considéré comme difficile, tandis que dans le problème de minimisation des circuits, la fonction que nous vouloir minimiser est gratuit (il est donné en entrée).$C$$f$$C'$$C$$n$

• contre P / p o l y . Ma question ne porte pas seulement sur latailledu circuit minimal; il s'agit de la complexité de trouver un circuit minimal, quelle que soit sa taille. Évidemment, si nous pouvons calculer des circuits minimaux en temps polynomial, alors N P ⊆ P / p o l y (et en fait N P ⊆ P , car la famille de circuits est alors P uniforme), mais l'inverse n'a pas besoin d'être vrai. En effet, je croisqu'Immerman et Mahaneyont été les premiers à construire un oracle où$NP$$P/poly$$NP \subseteq P/poly$$NP \subseteq P$$P$ mais P ≠ N P - c'est-à-dire que N P a des circuits de taille polynomiale mais ils ne peuvent pas être trouvés en temps polynomial.$NP \subseteq P/poly$$P \neq NP$$NP$

$T(n) = poly(T'(n))$$2^{\Omega(n)}$

$S$$T(T(n))$$2^{o(M)}$$T(n)=2^{n^{o(1)}}$