Constructivité dans la preuve naturelle et la complexité géométrique

Récemment, Ryan Willams a prouvé que la constructivité dans la preuve naturelle est inévitable pour dériver une séparation des classes de complexité: et . T C $\mathsf{NEXP}$$\mathsf{TC}^{0}$

La constructivité dans la preuve naturelle est une condition que toutes les preuves combinatoires dans la complexité du circuit satisfont et que nous pouvons décider si la fonction cible dans (ou une autre classe de complexité "dure") a une propriété "dure" par un algorithme qui s'exécute en poly-temps dans la longueur de la table de vérité de la fonction cible.$\mathsf{NEXP}$

Les deux autres conditions sont: une condition inutile qui nécessite une propriété "dure" ne peut être calculée par aucun circuit dans et une condition de largeur que la propriété dure est facile à trouver.$\mathsf{TC}^0$

Ma question est :

Ce résultat rend-il la théorie de la complexité géométrique (GCT) indisponible pour résoudre les principaux problèmes de séparation tels que vs , vs ou vs ?N P P N C N E X P T C$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NC}$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{TC}^0$

Les références:

• Ryan Williams, " Preuves naturelles contre dérandomisation "

Non, l'inévitabilité de la constructivité laisse définitivement le GCT ouvert comme un plan d'attaque viable sur les problèmes de limite inférieure tels que $NP$ vs $P/poly$ .

Tout d'abord, il convient de mentionner que le résultat de Ryan sur la constructivité est très similaire en saveur aux soi-disant "Flip Theorems" de Mulmuley, qui disent, par exemple, que si le permanent n'a pas de circuits arithmétiques poly-taille, alors il y a un ensemble constructible poly-temps randomisé de matrices (polynomialement nombreuses) sorte que chaque petit circuit diffère du permanent sur l'une de ces matrices. Voir Explicit Proofs and The Flip, Technical Report, Computer Science Department, The University of Chicago, septembre 2010 par Mulmuley.$\{M_1, \dotsc, M_{p(n)}\}$

Deuxièmement, la centralité de la caractérisation de la symétrie (mentionnée déjà par siuman) dans GCT est devenue plus apparente depuis l'enquête de Regan. Si la caractérisation de la symétrie s'avère être aussi cruciale pour GCT qu'elle semble le faire, cela contourne déjà la condition de grandeur. Pour la définition de la caractérisation de symétrie, voir cette réponse à une question précédente étroitement liée .

Pour une preuve que la caractérisation de symétrie viole la largeur, voir la section 3.4.3 «La caractérisation de symétrie évite la barrière Razborov – Rudich» dans ma thèse (self plugs sans vergogne, mais je ne sais nulle part ailleurs où cela est écrit si complètement) . Je soupçonne que cela viole également la constructivité, mais j'ai laissé cela comme une question ouverte. (Plus tôt dans le chapitre 3, il y a aussi un aperçu des théorèmes de retournement dans GCT et comment ils se rapportent à la caractérisation de symétrie.)

(Je trouve intéressant que la caractérisation de la symétrie - la propriété même que nous soupçonnons d'être utilisée dans GCT qui contourne Razborov - Rudich - soit utilisée pour prouver les théorèmes de retournement, qui disent essentiellement que la constructivité est nécessaire.)

Enfin, il convient de mentionner que, même si à long terme le GCT vise à résoudre par rapport à P / p o l y et d'autres problèmes booléens, la plupart des travaux en GCT se concentrent actuellement sur des analogues algébriques de ceux-ci, tels que le complexe nombres, et il n'y a pas encore d'analogue algébrique de Razborov - Rudich (que je sache).$NP$$P/poly$

Permettez-moi tout d'abord de corriger un éventuel malentendu: malheureusement, nous ne savons pas encore que . Mon plus récent limite inférieure est N E X P ∩ c o N E X P ⊄ A C C .$NEXP \not\subset TC^0$$NEXP \cap coNEXP \not\subset ACC$

Maintenant, la réponse à votre question est non. Il est encore très possible que des techniques basées sur GCT peuvent séparer de N P .$P$$NP$

Quelques commentaires supplémentaires à ce sujet: la relation entre le GCT et les preuves naturelles a été discutée dans le passé (même dans les documents originaux du GCT eux-mêmes). Bien qu'il ne semble pas y avoir de consensus sur lequel de la "constructivité" ou de la "largeur" ​​serait violée par l'approche GCT, Mulmuley et Sohoni ont fait valoir à un moment donné que si la GCT pouvait être réalisée, elle devrait violer la largeur. Pour une référence pertinente, voir la section 6 de l'aperçu de Regan sur GCT . Cependant, je dois ajouter que cette vue d'ensemble a déjà 10 ans et qu'un travail considérable a été consacré au GCT depuis lors; Je ne sais pas s'il y a une opinion révisée / nouvelle à ce sujet. (Peut-être que Josh Grochow peut sonner?)

La réponse courte est non .

L'approche de la théorie de la complexité géométrique cible certaines propriétés extrêmement rares, qui, selon Mulmuley, ne sont pas «grandes» telles que définies par Razborov et Rudich. Pour un argument formel, voir également la thèse de Joshua Grochow , Section 3.4.3 La symétrie-caractérisation évite la barrière Razborov-Rudich , et sa réponse .

Le paragraphe suivant provient de On P vs. NP et de la théorie de la complexité géométrique de Ketan Mulmuley ( JACM 2011 ou manuscrit ), section 4.3 Un plan de haut niveau :

Le but est de réaliser ces étapes de manière explicite, en exploitant la caractérisation par symétries du permanent et du déterminant. Nous préciserons ce que signifie explicitement plus tard; cf. Hypothèse 4.6. Cette approche est extrêmement rigide en ce sens qu'elle ne fonctionne que pour des fonctions dures extrêmement rares caractérisées par leurs symétries. Cette rigidité extrême est bien plus que ce qui est nécessaire pour contourner la barrière de preuve naturelle [Razborov et Rudich 1997].

Étant donné que les conditions de constructivité et de largeur sont requises pour une preuve naturelle (où l'utilité est implicite), prouver que la constructivité est inévitable n'est pas suffisant pour exclure de telles approches (bien qu'un grand pas en avant).