Reconnaître les graphiques linéaires des hypergraphes

Le graphe linéaire d'un hypergraphe est le graphe (simple) G ayant des arêtes de H comme sommets avec deux arêtes de H adjacentes à G si elles ont une intersection non vide. Un hypergraphe est un r -hypergraphe si chacune de ses arêtes a au plus r sommets.$H$$G$$H$$H$$G$$r$$r$

Quelle est la complexité du problème suivant: Étant donné un graphe , existe-t-il un 3 -hypergraphe H tel que G est le graphe linéaire de H ?$G$$3$$H$$G$$H$

Il est bien connu que la reconnaissance de graphiques linéaires de hypergraphes est polynomiale, et il est connu (par Poljak et al., Discrete Appl. Math. 3 (1981) 301-312) que la reconnaissance de graphiques linéaires de r -hypergraphes est NP -complet pour tout r ≥ 4 fixe . $2$$r$$r \ge 4$

Remarque: Dans le cas d'hypergraphes simples, c'est-à-dire que toutes les hyper-arêtes sont distinctes, le problème est NP-complet comme le prouve l'article de Poljak et al.

J'ai trouvé la version journal de la préimpression de Skums et al. pointé par @mhum; c'est ici: Mathématiques discrètes 309 (2009) 3500–3517 . Là, les auteurs ont corrigé leur citation comme suit:

$k \ge 3$$k = 2$$L_3$$G \in L_k$$k \ge 4$$G \in L^l_3$$k \ge 3$$3$-les hypergraphes uniformes sans arêtes multiples [15] sont NP-complets.

La référence 15 est celle de Poljak et al. Susmentionnée. (1981).

$3$

$r$$r \geq 3$$4$

$k=3$$k=2$$L_3$$G \in L_3$$G \in L^l_k$$k\geq3$

$L_3$$L^l_3$