Une extension de l'opérateur de bruit

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Dans un problème sur lequel je travaille actuellement, une extension de l'opérateur de bruit survient naturellement et j'étais curieux de savoir s'il y avait eu des travaux antérieurs. Permettez-moi d'abord de réviser l'opérateur de bruit de base $T_{\varepsilon}$ sur les fonctions booléennes à valeur réelle. Étant donné une fonction $f: \{0,1\}^n \to \mathbb{R}$ et $\varepsilon$ , $p$ st $0 \leq \varepsilon \leq 1$ , $\varepsilon = 1 - 2p$ , nous définissons $T_{\varepsilon} \to \mathbb{R}$ comme $T_{\varepsilon} f(x) = E_{y \sim \mu_p} [f(x+y)]$

$\mu_p$ est la distribution sur $y$ obtenue en fixant chaque bit d'unvecteur à $n$ bits à $1$ indépendamment avec une probabilité $p$ et $0$ sinon. De manière équivalente, nous pouvons considérer ce processus comme retournant chaque bit de $x$ avec une probabilité indépendante $p$ . Maintenant, cet opérateur de bruit a de nombreuses propriétés utiles, y compris être multiplicatif $T_{\varepsilon_1} T_{\varepsilon_2} = T_{\varepsilon_1 \varepsilon_2}$ et avoir de belles valeurs propres et vecteurs propres ( $T_{\varepsilon}(\chi_S) = \varepsilon^{|S|} \chi_S$ où $\chi_S$ appartient à la base de parité).

Permettez-moi maintenant de définir mon extension de , que je désigne par . est donné par . Mais ici, notre distribution $T_\varepsilon$ $R_{(p_1,p_2)}$ $R_{(p_1,p_2)} \to \mathbb{R}$ $R_{(p_1,p_2)} f(x) = E_{y \sim \mu_{p,x}} [f(x+y)]$ est tel que nous inversons lesbits deàavec probabilité etbits deàavec probabilité . ( est maintenant clairement une distribution qui dépend duoù la fonction est évaluée, et si alors réduit à l'opérateur de bruit `` régulier ''.) $\mu_{p,x}$ $1$ $x$ $0$ $p_1$ $0$ $x$ $1$ $p_2$ $\mu_{p,x}$ $x$ $p_1 = p_2$ $R_{(p_1,p_2)}$

Je me demandais si cet opérateur déjà été bien étudié quelque part dans la littérature? Ou ses propriétés de base sont-elles évidentes? Je commence juste par l'analyse booléenne, donc cela pourrait être simple pour quelqu'un plus familier avec la théorie que moi. En particulier, je voudrais savoir si les vecteurs propres et les valeurs propres ont une belle caractérisation, ou s'il existe une propriété multiplicative. $R_{(p_1,p_2)}$

boolean-functions fourier-analysis

— Amir
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Je répondrai à la deuxième partie de la question.

I. Valeurs propres et fonctions propres

Considérons d'abord le cas unidimensionnel . Il est facile de vérifier que l'opérateur a deux fonctions propres: et avec des valeurs propres et $n=1$ $R_{p_1,p_2}$ $1$

ξ (x) = (p_{1} + p_{2}) x - p_{1} = {\begin{cases} - p_{1}, & if x = 0, \\ p_{2}, & if x = 1. \end{cases}

$\xi(x) = (p_1+p_2)x - p_1 = \begin{cases} -p_1, &\text{ if } x =0,\\ p_2, &\text{ if } x =1. \end{cases}$

1

$1$

, respectivement.

1 - p_{1} - p_{2}

$1-p_1 - p_2$

Considérons maintenant le cas général. Pour , soit $S\subset \{1,\dots,n\}$ . Observons que est une fonction propre de . En effet puisque toutes les variables sont indépendantes, nous avons $\xi_S(x) = \prod_{i\in S} \xi(x_i)$ $\xi_S$ $R_{p_1,p_2}$ $x_i$

\begin{aligned} R_{p_{1}, p_{2}} (ξ (x)) & = R_{p_{1}, p_{2}} (\prod_{i \in S} ξ (x_{i})) = \prod_{i \in S} R_{p_{1}, p_{2}} (ξ (x_{i})) \\ = \prod_{i \in S} ((1 - p_{1} - p_{2}) ξ (x_{i})) = (1 - p_{1} - p_{2})^{| S |} ξ_{S} (x) . \end{aligned}

$\begin{align*} R_{p_1,p_2}(\xi(x)) &= R_{p_1,p_2}\left(\prod_{i\in S} \xi(x_i)\right) = \prod_{i\in S} R_{p_1,p_2}(\xi(x_i)) \\ &= \prod_{i\in S}\left((1-p_1 - p_2)\xi(x_i)\right) = (1-p_1 - p_2)^{|S|} \xi_S(x). \end{align*}$

On obtient que est une fonction propre de de valeur propre pour tout . Puisque les fonctions couvrent tout l'espace, $\xi_S(x)$ $R_{p_1,p_2}$ $(1-p_1-p_2)^{|S|}$ $S\subset \{1,\dots,n\}$ $\xi_S(x)$ $R_{p_1,p_2}$ n'a pas d'autres fonctions propres (qui ne sont pas des combinaisons linéaires de ). $\xi_S(x)$

II. Propriété multiplicative

En général, la «propriété multiplicative» n'est pas valable pour puisque la base propre de dépend de et . Cependant, nous avons où $R_{p_1,p_2}$ $R_{p_1,p_2}$ $p_1$ $p_2$

R_{p_{1}, p_{2}}^{2} = R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}},

$R_{p_1,p_2}^2 = R_{p_1',p_2'},$

et

. Pour vérifier cela, notons tout d'abord que

et

ont le même ensemble de fonctions propres

. On a,

p_{1}^{'} = 2 p_{1} - (p_{1} + p_{2}) p_{1}

$p_1' = 2p_1- (p_1+p_2)p_1$

p_{2}^{'} = 2 p_{2} - (p_{1} + p_{2}) p_{2}

$p_2' = 2p_2- (p_1+p_2)p_2$

R_{p_{1}, p_{2}}

$R_{p_1,p_2}$

R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}}

$R_{p_1',p_2'}$

{ξ_{S}}

$\{\xi_S\}$

puisque

R_{p_{1}, p_{2}}^{2} (ξ_{S}) = (1 - p_{1} - p_{2})^{2 | S |} ξ_{S} = (1 - p_{1}^{'} - p_{2}^{'})^{| S |} ξ_{S} = R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}} (ξ_{S})

$R_{p_1,p_2}^2(\xi_S) = (1-p_1-p_2)^{2|S|} \xi_S=(1-p_1'-p_2')^{|S|}\xi_S = R_{p_1',p_2'} (\xi_S)$

\begin{aligned} 1 - p_{1}^{'} - p_{2}^{'} & = 1 - p_{1} \cdot (2 - (p_{1} + p_{2})) - p_{2} \cdot (2 - (p_{1} + p_{2})) \\ = 1 - (p_{1} + p + 2) (2 - (p_{1} + p_{2})) \\ = 1 - 2 (p_{1} + p_{2}) + (p_{1} + p_{2})^{2} = (1 - p_{1} - p_{2})^{2} . \end{aligned}

$\begin{align*} 1-p_1'-p_2' &= 1 - p_1\cdot (2- (p_1+p_2)) - p_2\cdot (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - (p_1+p+2) (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - 2(p_1 +p_2) + (p_1 + p_2)^2 = (1-p_1-p_2)^2. \end{align*}$

III. Relation to the Bonami—Beckner operator

Let us think of functions from $\{0,1\}^n$ to ${\mathbb R}$ as polylinear polynomials. Let $\delta = \frac{1}{2}\cdot \frac{p_1-p_2}{p_1+p_2}$ . Consider the operator

A_{δ} (f) = f (x_{1} + δ, \dots, x_{n} + δ) .

$A_{\delta}(f) = f(x_1 + \delta, \dots, x_n + \delta).$ It maps every multilinear polynomial

f

$f$ to a multilinear polynomial

A [f]

$A[f]$ . We have,

R_{p_{1}, p_{2}} (f) = A_{δ}^{- 1} T_{ε} A_{δ} (f),

$R_{p_1,p_2}(f) = A_{\delta}^{-1} T_{\varepsilon}A_{\delta}(f),$ where

ε = 1 - p_{1} - p_{2}

$\varepsilon = 1 - p_1 - p_2$ . Note that parts I and II follow from this formula and properties of the Bonami—Beckner operator.

— Yury
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Yury, thank you for the answer! That's a good starting point for me to work with; I should now be able to work out if there are analogues of the hyper contractive inequality. Will post back here if I get any more interesting analysis.

— Amir

This is very long after the fact, but I am curious how you derived the third part and the relation to the Becker Bonami operator?

— Amir

(a) It is sufficient to check the identity for

f = 1

$f=1$ and

f = x_{i}

$f=x_i$ . If it holds for

1

$1$ and

x_{i}

$x_i$ , then it's easy to see that it holds for all characters. By linearity, it holds for all functions. (b) Alternatively, from I,

T_{ε}

$T_\varepsilon$ and

R_{p_{1}, p_{2}}

$R_{p_1,p_2}$ have the same set of eigenvalues; eigenvector

\prod_{i \in S} x_{i}

$\prod_{i\in S} x_i$ of

T

$T$ “corresponds” to eigenvector

\prod_{i \in S} ξ (x_{i})

$\prod_{i\in S} \xi(x_i)$ of

R

$R$ . Thus

R (f) = A^{- 1} T A (f)

$R(f) = A^{-1} T A(f)$ where A is a linear map that maps

ξ (x)

$\xi(x)$ to

x

$x$ .

— Yury

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We were eventually able to analyze hypercontractive properties of $R_{p_1, p_2}$ (http://arxiv.org/abs/1404.1191), building off of the main Fourier analysis of $R_{p,0}$ by Ahlberg, Broman, Griffiths and Morris (http://arxiv.org/abs/1108.0310).

To summarize, the effect of a biased operator $R_{p,0}$ on a function $f$ can be analyzed as a symmetric noise operator in a biased measure space. This gives a weak form of hypercontractivity, which depends on how the $\ell_2$ norm of $f$ varies when switching to a choice of biased measure $\mu$ dependent on $p$ .

— Amir
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You might want to 'accept' this answer so that the question doesn't keep popping up (disclaimer: I am an author on the linked paper)

— Suresh Venkat