Solveurs NP optimaux

Fixer un problème de recherche NP-complet, par exemple le formulaire de recherche de SAT. La recherche de Levin fournit un algorithme L pour résoudre X qui est optimal dans un certain sens. Plus précisément, l'algorithme est "Exécute tous les programmes P possibles en queue d'aronde sur l'entrée x , une fois que certains P retournent la réponse y teste si c'est correct". Il est optimal dans le sens où, étant donné un programme P qui résout X avec une complexité temporelle t $X \subset \lbrace 0,1 \rbrace^* \times \lbrace 0,1 \rbrace^*$$L$$X$$P$$x$$P$$y$$P$$X$ , la complexité temporelle t L ( n ) de L satisfait$t_P(n)$$t_L(n)$$L$

$$t_L(n) < 2^{|P|}p(t_P(n))$$

où est un polynôme fixe qui dépend du modèle de calcul précis$p$

L'optimalité de L peut être formulée d'une manière un peu plus forte. A savoir, pour chaque M ⊂ { 0 , 1 } ∗ et Q un programme résolvant X avec la promesse M dans le temps t M Q ( n ) , la complexité temporelle t M L ( n ) de L restreinte aux entrées dans M satisfait$L$$M \subset \lbrace 0,1 \rbrace^*$$Q$$X$$M$$t^M_Q(n)$$t_L^M(n)$$L$$M$

$$t_L^M(n) < 2^{|Q|}q(n, t^M_Q(n))$$

où est un polynôme fixe. La différence cruciale est que t M Q ( n ) peut être par exemple polynomial même si P ≠ N $q$$t^M_Q(n)$$P \neq NP$

La "faiblesse" évidente de est le grand facteur 2 | Q | dans cette limite. Il est facile de voir que s'il existe un algorithme satisfaisant une borne de la même forme avec 2 | Q | remplacé par un polynôme en | Q | alors P = N P . C'est parce que nous pouvons considérer Q comme un programme résolvant une instance donnée de X en codant en dur la réponse. De même, si 2 | Q | peut être remplacé par une fonction sous-exponentielle de | Q $L$$2^{|Q|}$$2^{|Q|}$$|Q|$$P = NP$$Q$$X$$2^{|Q|}$$|Q|$alors l'hypothèse exponentielle du temps est violée. Cependant, la réponse à la question suivante est moins évidente (pour moi):

En supposant l'hypothèse de temps exponentielle et d'autres conjectures bien connues (par exemple non-dégénérescence de la hiérarchie polynomiale, existence de fonctions à sens unique) si nécessaire, existe-t-il un algorithme résolvant X st pour chaque M ⊂ { 0 , 1 } ∗ et Q un programme résolvant X avec la promesse M dans le temps t M Q ( n ) , la complexité temporelle t M A ( n ) de A restreinte aux entrées dans M satisfait$A$$X$$M \subset \lbrace 0,1 \rbrace^*$$Q$$X$$M$$t^M_Q(n)$$t_A^M(n)$$A$$M$

$$t_A^M(n) < f(|Q|)q(n, t^M_Q(n)) + g(|Q|)$$

où est polynomial, f est sous-exponentiel et g est arbitraire$q$$f$$g$

Si la réponse est positive, peut-il être polynomial? Quel est le taux de croissance de g (clairement au moins exponentiel sous ETH)? Si la réponse est négative, le polynôme f peut-il exister si ETH est faux mais P ≠ N P ?$f$$g$$f$$P \neq NP$

Considérez l'algorithme suivant (une variante de l'algorithme de Levin):

Exécutez les premiers algorithmes en parallèle. De plus, exécutez en parallèle un algorithme de force brute qui essaie toutes les solutions possibles une par une. (Exécutez tous les algorithmes à la même vitesse.)$n$

Arrêtez-vous lorsque l'un des algorithmes trouve une solution.

Considérons deux cas (étant donné une entrée de longueur n ):$x$$n$

• est l'un des n premiersalgorithmes. Le temps de fonctionnement est alors O ( n ⋅ t M Q ( n ) ) ⋅ p o l y ( n ) .$Q$$n$$O(n \cdot t^M_Q(n)) \cdot \mathrm{poly}(n)$

• n'est pas l'un des n premiersalgorithmes (donc n < 2 | Q | ). Ensuite, le temps d'exécution est limité par le temps d'exécution de l'algorithme de force brute. Nous avons que le temps de fonctionnement est 2 n O ( 1 ) = 2 2 O ( | Q | ) .$Q$$n$$n < 2^{|Q|}$$2^{n^{O(1)}} = 2^{2^{O(|Q|)}}$

On a

$$t^M_A(n) \leq \mathrm{poly}(n) \cdot t^M_Q(n) + 2^{2^{O(|Q|)}}.$$

(Ici, est polynomial et g ( n ) est double exponentielle dans n ; nous pouvons améliorer la dépendance de g ( n ) sur n en aggravant la dépendance de f ( n ) sur n .)$f(n)$$g(n)$$n$$g(n)$$n$$f(n)$$n$