0-1 Programmation linéaire: calcul de la formulation optimale

Considérons l' espace à $n$ dimensions $\{0,1\}^n$ , et soit $c$ une contrainte linéaire de la forme $a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 +\ ...\ + a_{n-1}x_{n-1} + a_nx_n \geq k$ , où $a_i \in \mathbb{R}$ , et . $x_i \in \{0,1\}$ $k \in \mathbb{R}$

Clairement, a pour effet de diviser en deux sous-ensembles et . contient tous et seulement les points satisfaisant , tandis que contient tous et seulement les points falsifiant . $c$ $\{0,1\}^n$ $S_c$ $S_{\lnot c}$ $S_c$ $c$ $S_{\lnot c}$ $c$

Supposons que . Maintenant, soit un sous-ensemble de tel que les trois énoncés suivants soient valables: $|S_c| \geq n$ $O$ $S_c$

contient exactement points. $O$ $n$
Ces points sont linéairement indépendants. $n$
Ces points sont ceux à distance minimale de l'hyperplan représenté par . Plus précisément, soit la distance d'un point à l'hyperplan . Alors, tel que vérifie 1 et 2 c'est le cas que $n$ $c$ $d( x, c )$ $x \in \{0,1\}^n$ $c$ $\forall B \subseteq S_c$ $B$ . Autrement dit est, parmi tous les sous-ensembles de satisfaisant à la fois aux conditions 1 et 2, celui qui minimise la somme des distances de ses points à l'hyperplan . $\sum_{x \in B} d(x, c) \geq \sum_{x \in O} d(x, c)$ $O$ $S_c$ $c$

Des questions

Étant donné , est-il possible de calculer efficacement? $c$ $O$

Quel est l'algorithme le plus connu pour le calculer?

$\$

Exemple avec $n = 3$

Exemple avec n = 3

, . $S_{\lnot c} = \{ ( 1, 0, 1 ) \}$ $O = \{ ( 0, 0, 1 ), ( 1, 1, 1 ), ( 1, 0, 0 ) \}$

$\$

Mise à jour 05/12/2012

Motivation

La motivation est que l' utilisation de , il devrait être possible de déterminer la contrainte optimale , comme cela devrait être le hyperplan défini par les points dans . $O$ $c^*$ $n$ $O$

La contrainte optimale est celle qui conduit au polytope optimal . $c^*$ $P^*$

Le polytope optimal est celui dont les sommets sont tous et seulement les sommets entiers du polytope initial (un sommet entier est un sommet dont les coordonnées sont toutes entières). $P^*$ $P$

Formulation optimale

Le processus peut être itéré pour chaque contrainte d'une instance 0-1 , en remplaçant à chaque fois par sa contrainte optimale correspondante . A la fin, cela conduira à polytope optimale de . Puis, comme les sommets de sont tous et uniquement les sommets entiers du polytope initial de , tout algorithme pour peut être utilisé pour calculer la solution entière optimale. Je sais que pouvoir calculer efficacement impliquerait $c$ $LP$ $I$ $c$ $c^*$ $P^*$ $I$ $P^*$ $P$ $I$ $LP$ $P^*$ , mais la question supplémentaire suivante demeure: $P = NP$

Question supplémentaire

Y a-t-il des travaux antérieurs dans ce sens? Quelqu'un at - il déjà étudié la tâche de calcul, étant donné un polytope , son polytope optimale correspondant ? Quel est l'algorithme le plus connu pour le faire? $P$ $P^*$

— Giorgio Camerani
source

Cela semble être NP-difficile à faire exactement, par réduction de la somme du sous-ensemble. Étant donné des entiers binaires

, pour tester s'il existe un sous-ensemble sommant

, nous pouvons tester s'il y a un point sur l'hyperplan

. Êtes-vous intéressé par les approximations?

v_{1}, \dots, v_{n}

$v_1,\dots,v_n$

s

$s$

v_{1} x_{1} + \dots + v_{1} x_{n} = s

$v_1x_1+\dots+v_1x_n= s$

— Colin McQuillan

@ColinMcQuillan: La question était destinée à une solution exacte, mais je suis certainement aussi intéressé par les approximations. Pourquoi ne transformez-vous pas votre commentaire en réponse?

— Giorgio Camerani

@ColinMcQuillan: En outre, votre hyperplan est défini en utilisant une égalité, tandis que le mien est défini en utilisant une inégalité. Êtes-vous sûr que cela ne fait aucune différence en termes de dureté? Je n'ai pas encore vérifié cela, donc je demande juste.

— Giorgio Camerani

Je suis un peu confus au sujet de toutes les restrictions sur

. Si vous recherchez des informations sur la coque convexe de

il existe de nombreux résultats dans la littérature de recherche opérationnelle sur le polytope à dos 0-1. En termes de formulations approximatives, voir ceci .

O

$O$

S_{c}

$S_c$

— Austin Buchanan,

Cela semble être NP-difficile à faire exactement, par réduction de la somme du sous-ensemble. Supposons que nous ayons une procédure efficace pour calculer . Etant donné les entiers positifs codés en binaire, nous souhaitons tester s'il existe un sous-ensemble sommant . Prétraitez en jetant tous les entiers supérieurs à . $O$ $v_1,\dots,v_n$ $s$ $s$

Appelez la procédure pour obtenir un petit ensemble de points satisfaisant , satisfaisant vos conditions de minimalité (le prétraitement assure ). Cet ensemble contiendra certainement un point sur l'hyperplan s'il y en a un. $O$ $v_1x_1+\dots+v_1x_n\leq s$ $|S_c|\geq n$ $v_1x_1+\dots+v_1x_n= s$

— Colin McQuillan
source

v_{1}, . . ., v_{n}

$v_1, ..., v_n$ belong to

R

$\mathbb{R}$ . Maybe you mean encoded in binary? Or maybe you wanted to say positive? 2) Why throwing out all the integers larger than

s

$s$ ? They may contribute to the solution. For example:

v_{1} = - 3, v_{2} = 7, v_{3} = - 5, s = 2

$v_1 = -3, v_2 = 7, v_3 = -5, s = 2$ if you throw away

v_{2}

$v_2$ you lose the only solution

{v_{2}, v_{3}}

$\{v_2, v_3\}$ .

— Giorgio Camerani

I think what Colin means is that if the constraint coefficients

a_{i}

$a_i$ are rational numbers, in their usual binary representation, then your problem appears to NP-hard. (Mixing real numbers and NP-hardness is always tricky.)

— Jeffε

@GiorgioCamerani: I did need to say positive - I've updated my answer.

— Colin McQuillan

It seems to me you are trying to get to the convex hull of the IP - in essence this is what cut algorithms try to achieve. Although thereotically appealing these methods fare poorly in practice.

There is all theory on the generation of valid inequalities. A good starting point would be shrijver's book theory of integer programming.

— AJ Student
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