Quelles sont les conséquences de

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On sait que $\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P}$ et $\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{L}^2 \subseteq$ $\mathsf{polyL}$ , où $\mathsf{L}^2 = \mathsf{DSPACE}(\log^2 n)$ . Nous savons aussi que $\mathsf{polyL} \neq \mathsf{P}$ parce que ce dernier a des problèmes complets dans les réductions logarithmiques d’espaces multiples, alors que ce n’est pas le cas (en raison du théorème de la hiérarchie spatiale). Afin de mieux comprendre la relation entre $\mathsf{polyL}$ et $\mathsf{P}$ , il peut être utile de comprendre d'abord la relation entre $\mathsf{L}^2$ et $\mathsf{P}$ .

Quelles sont les conséquences de $\mathsf{L}^2 \subseteq \mathsf{P}$ ?

Qu'en est- il le plus fort $\mathsf{L}^{k} \subseteq \mathsf{P}$ pour $k>2$ , ou plus faible $\mathsf{L}^{1 + \epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ pour $\epsilon > 0$ ?

— argentpepper
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4

@OrMeir J'ai récemment ajouté une explication de ce fait à l'article de Wikipedia sur polyL .

— argentpepper

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L^{2} \subseteq P

$L^2 \subseteq P$

L \neq P

$L \neq P$

L ⊊ L^{2}

$L \subsetneq L^2$

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Neat question! Je pense que ça vaut vraiment une prime. Btw, voici une observation simple, si

L^{2} \subseteq P

$L^2 \subseteq P$ , alors

D S P A C E (n) \subseteq D T I M E (2^{O (\sqrt{n})})

$DSPACE(n) \subseteq DTIME(2^{O(\sqrt{n})})$ . Nous avons donc un algorithme plus efficace pour CNF-SAT et nous réfutons ETH (hypothèse de temps exponentiel).

— Michael Wehar

3

Suivant le commentaire de @ MichaelWehar, l’ argument résulte d’un argument de remplissage standard qui s’étend aux hypothèses les plus faibles: si

L^{1 + ϵ}

$L^{1 + \epsilon}$ est dans

P

$P$ , alors tout problème pouvant être résolu en espace linéaire (y compris le problème de satisfiabilité) peut être résolu. être résolu dans le temps

2^{O (n^{\frac{1}{1 + ϵ}})}

$2^{O\left(n^{\frac{1}{1 + \epsilon}}\right)}$ .

— argentpepper

3

@SajinKoroth: Je pense que votre commentaire, ainsi que celui de Michael Wehar (et du suivi de argentpepper) devraient être des réponses ...

— Joshua Grochow

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La conséquence suivante est évidente: impliquerait et donc . $\mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \neq \mathsf{P}$

Selon le théorème de la hiérarchie de l'espace, . Si alors . $\forall \epsilon > 0: \mathsf{L} \subsetneq \mathsf{L}^{1+\epsilon}$ $\mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$

— Sajin Koroth
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Petite note: Si , nous avons ou .

P \neq L

$P \neq L$

P \neq N L

$P \neq NL$

N L \neq L

$NL \neq L$

— Michael Wehar

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$\newcommand{\DSPACE}{\mathsf{DSPACE}} \newcommand{\L}{\mathsf{L}} \newcommand{\P}{\mathsf{P}} \newcommand{\DTIME}{\mathsf{DTIME}}$

$\L^2 \subseteq \P$ réfuterait l' hypothèse du temps exponentiel .

Si un argument de remplissage . Cela signifie que le problème de satisfiabilité peut être résolu en étapes, ce qui réfute l'hypothèse du temps exponentiel. $\L^2 \subseteq \P$ $\DSPACE(n) \subseteq \DTIME(2^{O(\sqrt n)})$ $\mathsf{SAT} \in \DSPACE(n)$ $2^{o(n)}$

Plus généralement, pour implique . $\DSPACE(\log^{k} n) \subseteq \P$ $k\geq1$ $\mathsf{SAT} \in \DSPACE(n) \subseteq \DTIME(2^{O(n^{\frac{1}{k}})})$

(Cette réponse est développée à partir d'un commentaire de @MichaelWehar.)

— argentpepper
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Merci d'avoir développé le commentaire! Je vous en suis reconnaissant. :)

— Michael Wehar

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De plus, la dernière hypothèse implique également que est dans DSPACE ( ) DTIME ( ).

Q B F

$QBF$

n

$n$

\subseteq

$\subseteq$

2^{O (n^{\frac{1}{k}})}

$2^{O(n^{\frac{1}{k}})}$

— Michael Wehar

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L'isomorphisme de groupe (avec les groupes donnés sous forme de tables de multiplication) serait dans P. Lipton, Snyder et Zalcstein a montré que ce problème est dans , mais il est toujours possible de savoir s'il est dans P. La meilleure limite supérieure actuelle est -time, et comme il se réduit à un isomorphisme de graphe, il constitue un obstacle important à la mise en iso de graphes dans P. $\mathsf{L}^2$ $n^{O(\log n)}$

Je me demande à quels autres problèmes naturels et importants cela pourrait s’appliquer: c’est-à-dire, en mais avec leur meilleur temps connu quasi-polynomial. $\mathsf{L}^2$

— Joshua Grochow
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Plus spécifiquement, le problème plus général de l'isomorphisme de quasigroupe est dans , qui est une sous-classe de .

β_{2} F O L L

$\beta_2 \mathsf{FOLL}$

L^{2}

$\mathsf{L}^2$

— argentpepper

1

De plus, le problème de rang de groupe (étant donné un groupe fini G sous forme de table de multiplication et un entier k , G a-t-il un ensemble générateur de cardinalité k ?) A également cette propriété. L'algorithme est juste une recherche sur les sous-ensembles de G de la cardinalité k, mais utilise deux faits importants: (1) chaque groupe fini a un ensemble générateur de taille logarithmique et (2) l'appartenance à un sous-groupe est dans , ce qui est égal à .

S L

$\mathsf{SL}$

L

$\mathsf{L}$

— argentpepper

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Revendication: Si pour certains , alors et . $L^k \subseteq P$ $k > 2$ $P \neq \log(CFL)$ $P \neq NL$

Supposons que pour certains . $L^k \subseteq P$ $k > 2$

D'après " Limites de la mémoire pour la reconnaissance des langages sans contexte et sensibles au contexte ", nous savons que . D'après le théorème de la hiérarchie de l'espace, nous savons que . $CFL \subseteq DSPACE(\log^2(n))$ $DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n))$

Par conséquent, nous obtenons . $\log(CFL) \subseteq DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n)) \subseteq P$

Aussi, par le théorème de Savitch, nous savons que . Par conséquent, nous obtenons . $NL \subseteq L^2$ $NL \subseteq DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n)) \subseteq P$

— Michael Wehar
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