Dans quelles circonstances les algorithmes

Supposons que, pour chaque , il existe une machine de Turing qui décide d'un langage dans le temps . Existe-t-il un seul algorithme déterminant dans le temps ? (Ici, le terme est mesuré en termes de , la longueur d'entrée.)$\epsilon > 0$$M_{\epsilon}$$L$$O(n^{a + \epsilon})$$L$$O(n^{a + o(1)})$$o(1)$$n$

Cela fait-il une différence si les algorithmes sont calculables, ou efficacement calculables, en termes de ?$M_{\epsilon}$$\epsilon$

Motivation: dans de nombreuses preuves, il est plus facile de construire des algorithmes de temps que l'algorithme limitant . En particulier, vous devez délimiter le terme constant dans pour passer à la limite . Ce serait bien s'il y a un résultat général que vous pouvez invoquer pour passer directement à la limite.$O(n^{a + \epsilon})$$O(n^{a + o(1)})$$O(n^{a + \epsilon})$$O(n^{a+o(1)})$

La question est similaire aux questions sur l'existence constructive de la limite d'une séquence d'objets (constructifs). Habituellement, si vous pouvez construire ces objets de manière uniforme (ici $M\epsilon$ ) suffisamment efficacement, vous pouvez montrer l'existence de la limite de manière constructive.

Par exemple, supposons que nous avons un TM qui exécute M | k | - 1 sur x et son temps d'exécution est O ( n a + | k | - 1 ) + O ( | k | ) (ici les bornes sont également uniformes, par exemple quelque chose comme O ( 2 k . N a + | k | - 1$N(k,x)$$M_{|k|^{-1}}$$x$$O(n^{a+|k|^{-1}})+O(|k|)$$O(2^k.n^{a+|k|^{-1}})$ne fonctionnerait pas). Ensuite, nous pouvons combiner ce simulateur uniforme avec la fonction pour obtenir la machine N ( x , x ) qui fonctionne dans le temps O ( n a + o ( 1 ) ) .$(k,x)\mapsto x$$N(x,x)$$O(n^{a+o(1)})$

PS: est un peu ambigu en raison de l'imbrication de notations asymptotiques, je l'interprète comme n a + o ( 1 ) . Nous avons également besoin d' un pour ne pas être trop petit, par exemple au moins 1 .$O(n^{a+o(1)})$$n^{a+o(1)}$$a$$1$

Vous pouvez utiliser l'algorithme de recherche universel de Levin. Supposons que vous puissiez en quelque sorte énumérer une séquence d'algorithmes décidant L , chacun fonctionnant dans le temps C k n a + 1 / k . L'algorithme de Levin fonctionne dans le temps T ( n ) ≤ D k n a + 1 / k pour chaque k , où D k est une constante dépendant de C k . Donc pour tout k , τ ( n ) $A_k$$L$$C_k n^{a+1/k}$$T(n) \leq D_k n^{a+1/k}$$k$$D_k$$C_k$$k$ Étant donnéϵ>0, choisissezk=⌈2/ϵ⌉, et soitN=⌈D 2 / ϵ k ⌉. Alors pourn≥N,τ(n)≤ϵ. Doncτ(n)→0, et nous obtenons que l'algorithme de Levin fonctionne dans le tempsna+τ(n)=na

$$\tau(n) \triangleq \frac{\log T(n)}{\log n} - a \leq \frac{\log D_k + (a+1/k) \log n}{\log n} - a = \frac{\log D_k}{\log n} + \frac{1}{k}.$$ $\epsilon>0$$k = \lceil 2/\epsilon \rceil$$N = \lceil D_k^{2/\epsilon} \rceil$$n \geq N$$\tau(n) \leq \epsilon$$\tau(n) \rightarrow 0$ .$n^{a+\tau(n)} = n^{a+o(1)}$