Les résultats montrant l'existence / la non-existence de graphes finis avec des propriétés calculables spécifiques impliquent certains résultats de complexité

Existe-t-il des résultats connus montrant que l'existence (ou la non-existence) de graphes finis avec des propriétés calculables spécifiques impliquent certains résultats de complexité (tels que P = NP)?

Voici un résultat complètement hypothétique : s'il existe un graphe fini avec des arêtes distinctes A, B, C et D telles que toutes les correspondances maximales contiennent soit A, B, C et D, soit ne contiennent pas A, B, C et D , alors P = NP.

Un résultat de ce genre a été prouvé par Lipton "En prouvant qu'un graphe n'a pas de grande clique: une connexion avec la théorie de Ramsey" . Il relie les conjectures des bornes inférieures à des résultats théoriques purement graphiques, montrant que si n'est pas contenu dans c o N T I M E ( n O ( log n ) ) / ( log log n ) , alors l'inapproximabilité de M A X - C L I Q U $NP$$coNTIME(n^{O(\log n)})/(\log \log n)$$MAX-CLIQUE$implique qu'il existe des graphiques avec des propriétés théoriques de Ramsey nettes. (Voir le document pour les définitions.) Je n'ai aucune idée si des progrès ont été réalisés pour prouver si de tels graphiques existent ou non.

Désolé, je suis tombé sur cette question d'un an seulement maintenant ...

En fait, il y a beaucoup de résultats montrant que les graphes explicites avec certaines propriétés impliquent des limites inférieures fortes pour les fonctions booléennes. Disons que les graphiques de haute dimension affine ou projective impliquent des limites inférieures fortes pour les formules et les programmes de branchement. Il existe également des mesures "plus simples" des graphes, de bonnes bornes inférieures sur lesquelles auraient de grandes conséquences sur la complexité de calcul. Permettez-moi d'en esquisser certains.

Affichez les graphiques sous forme d'ensembles d'arêtes. Soit le plus petit nombre s tel que G puisse s'écrire comme une intersection de ≤ s graphes, dont chacun est une union de ≤ s bicliques (graphes bipartis complets). Facile spectacles de comptage qui s ( G ) ≥ n 1 / 2 pour presque tous biparti n × n graphiques. Mais d'après les résultats de Valiant, chaque graphe bipartite explicite G (plus exactement, une séquence de graphes) avec s ( G ) $s(G)$$s$$G$$\leq s$$\leq s$$s(G)\geq n^{1/2}$$n\times n$$G$ pour une constante c > 0 résoudrait un ancien problème: donnerait une fonction booléenne qui ne peut pas être calculée par un circuit de profondeur logarithmique de taille linéaire. On suppose que les graphes denses sans K 2 , 2 ont de grands s ( G ) .$s(G)\geq n^c$$c>0$$K_{2,2}$$s(G)$

Mieux encore, soit le plus petit nombre d'opérations d' union et d'intersection fanin- 2 suffisantes pour générer G à partir d'étoiles complètes (graphes de type K 1 , n ou K n , 1 ). Le comptage montre que la plupart des graphiques ont S t a r ( G ) = Ω ( n 2 / log n ) . Mais tout G avec S t $Star(G)$$2$$G$$K_{1,n}$$K_{n,1}$$Star(G)=\Omega(n^2/\log n)$$G$ pour une constante c > 0 donnerait une fonction booléenne explicite nécessitant des circuits de taille exponentielle! Si le graphique a la dimension m × n avec m = o ( n ) , alors même une borne inférieure S t a r ( G ) ≥ ( 2 + c ) n aurait les mêmes conséquences. Le meilleur que nous puissions montrer à ce jour est S t $Star(G)\geq (4+c)n$$c>0$$m\times n$$m=o(n)$$Star(G)\geq (2+c)n$ . $Star(G)\geq 2n-1$

Soit le plus petit nombre t pour lequel il existe un sous-ensemble T ⊆ { 0 , 1 , … , t } et une suite de t bicliques tels que ( u , v ) ∈ G ssi le nombre de bicliques contenant ( u , v ) appartient à T . Encore une fois, le comptage donne S y m ( G ) ≥ n $Sym(G)$$t$$T\subseteq\{0,1,\ldots,t\}$$t$$(u,v)\in G$$(u,v)$$T$ pour la plupart des graphiques. Mais les résultats de Yao, Beigel et Tarui tout graphe explicite avec S y m ( G ) supérieur à 2 p o l y ( ln ln n ) nous donnerait une fonction booléenne à l'extérieur A C C . Attention: être "combinatoire compliqué" n'implique pas à lui seul un grand S y m ( G ) : il existe fortement des graphes de Ramsey pour lesquels S y m ( G ) = O ( log $Sym(G)\geq n/2$$Sym(G)$$2^{poly(\ln\ln n)}$$ACC$$Sym(G)$ , même si T = ensemble d'entiers impairs.$Sym(G)=O(\log n)$$T$

Plus de détails sur la façon dont tout cela se produit peuvent être trouvés ici .

$f:{0,1}^n\rightarrow {0,1}^n$$O(n)$$O(\log n)$profondeur - quelque chose que nous sommes encore loin de prouver) sous l'hypothèse que certains types de graphiques, appelés superconcentrateurs, n'existent pas. (Il s'agissait d'une question asymptotique, et non pas d'un seul graphique.) Cependant, il a montré plus tard que ceux-ci existent (et ont en fait d'autres utilisations)

La réponse est certainement «oui» si nous parlons de familles de graphiques, plutôt que de graphiques spécifiques. Par exemple, il y a une conjecture de Mihail et Vazirani selon laquelle tous les graphiques polytopaux 0/1 sont de bons ou très bons expanseurs de bord (c'est-à-dire que leur expansion de bord est limitée ci-dessous par 1 / polynôme (degré) ou 1).

Si cela est vrai, il existe des algorithmes d'approximation Monte Carlo à chaîne de Markov randomisés efficaces pour un certain nombre de problèmes de combinatoire et de comptage ouverts via une stratégie d'échantillonnage d'Alon, Jerrum et Sinclair.

Dans la même veine, s'il existe des familles de graphes polytopales dont le diamètre croît plus rapidement que n'importe quel polynôme en nombre de facettes et en degré de graphe, la programmation linéaire ne peut pas être résolue en temps fortement polynomial via des algorithmes de suivi de bord.

Développant le commentaire d'Anand Kulkarni:

Supposons qu'il existe une machine de Turing déterministe M qui reconnaît SAT en temps polynomial. Alors la relation de transition finie de M sera une fonction. Nous connaissons des MT qui reconnaissent SAT en temps polynomial, mais leurs relations de transition ne sont pas des fonctions. Notez que la relation de transition est un graphe dirigé bipartite avec des tuples de (état, symbole de bande) dans une bipartition, des tuples de (état, symbole de bande, déplacer) dans l'autre bipartition, et des arcs de paires en triples.

Donc, trivialement, s'il existe un tel digraphe qui est une fonction, alors P = NP.

Bien sûr, ce n'est pas une définition très naturelle, car elle nécessite un mécanisme auxiliaire pour donner un sens à l'exigence que chaque chemin dans l'espace d'état qui atteint l'état d'acceptation ait une longueur limitée par un polynôme dans la taille d'entrée. Il n'est pas du tout évident à quoi ressemble l'ensemble de graphes finis représentant les machines de Turing délimitées par le temps, ni si ces graphes ont des propriétés théoriques des graphes intéressantes.