Complexité de l'alimentation de la matrice

Soit une matrice entière carrée, et soit un entier positif. Je m'intéresse à la complexité du problème de décision suivant: $M$ $n$

L'entrée en haut à droite de positive? $M^n$

Notez que l'approche évidente du quadrillage itéré (ou de tout autre calcul explicite) nous oblige à gérer potentiellement des entiers de magnitude doublement exponentielle, c'est-à-dire ayant exponentiellement beaucoup de bits. Cependant, le problème apparaît facilement dans la classe "PosSLP" d'Allender et al. ( "On the Complexity of Numerical Analysis", SIAM J. Comput. 38 (5) ), et donc dans le quatrième niveau de la hiérarchie de comptage .

1) Est-il possible de placer ce problème d'alimentation de matrice dans une classe de complexité inférieure?

2) Sinon, pourrait-il en théorie être difficile pour PosSLP?

3) Je suis particulièrement intéressé par le problème d'alimentation des matrices pour les matrices de faible dimension, c'est-à-dire jusqu'à et y compris les matrices 6x6. La complexité pourrait-elle être plus faible pour de telles matrices?

cc.complexity-theory linear-algebra matrices

— Joel
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Le titre ne devrait-il pas être remplacé par «Complexité de l'alimentation de la matrice»? L'exponentiation de matrice (voir par exemple en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential ) est généralement comprise comme "A = exp (B)" pour les matrices A, B.

— Martin Schwarz

Je vais le modifier. c'est un bon point, @MartinSchwarz

— Suresh Venkat

Si vous transformez la matrice en forme PDP-1 (qui pour une petite matrice et une puissance suffisamment élevée de n peut être considérée comme constante), vous pouvez connaître trivialement le signe de chaque entrée des entrées diagonales. Ensuite, il est facile de comprendre les deux multiplications matricielles restantes.

— Robert Mason

@Robert Mason: Je ne sais pas exactement ce que vous proposez. Si D est la forme canonique de Jordan de M, de sorte que M ^ n = P ^ (- 1) D ^ n P, alors les entrées de D seront généralement des nombres algébriques complexes, alors que voulez-vous dire par leur "signe"? Je suis d'accord que vous pouvez calculer D et P en temps polynomial (en supposant des représentations standard de nombres algébriques), mais l'expression que vous obtenez pour l'entrée en haut à droite de M ^ n = P ^ (- 1) D ^ n P sera une expression impliquant divers nombres algébriques élevés à la puissance n, et je ne vois pas comment vous pouvez déterminer efficacement le signe de cette expression.

— Joel

@Robert Mason: Je ne comprends toujours pas - comment / pourquoi est-ce efficace pour les matrices inversibles? (Et accessoirement, "la plupart" des matrices sont inversibles, plutôt que le contraire.)

— Joel

Pour les matrices de tailles le problème de positivité de l'alimentation de matrice est dans (cf. cet article à paraître dans STACS 2015) $k = 2,3$ $\mathsf{P}$

— SamiD
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Je n'ai pas pu résister à poster ça! :-)

— SamiD