Peut-on prouver

Résultat 1: le théorème de Linial-Mansour-Nisan dit que le poids de Fourier des fonctions calculées par les circuits $\mathsf{AC}^0$ est concentré sur les sous-ensembles de petite taille à forte probabilité.

Résultat 2: Le a son poids de Fourier concentré sur le coefficient du degré . $\mathsf{PARITY}$ $n$

Question: Existe-t-il un moyen de prouver (si prouvable) que n'est pas calculable par les circuits via / en utilisant les résultats 1 et 2? $\mathsf{PARITY}$ $\mathsf{AC}^0$

— Stattrav
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N'est-ce pas là une application évidente du théorème de Linial-Mansour-Nisan? La façon dont le théorème LMN est prouvé (en particulier, s'il est prouvé par un argument probabiliste ou non) n'a pas d'importance.

— Tsuyoshi Ito

en même temps, le théorème de Linial-Mansour-Nisan n'est-il pas prouvé en supposant le théorème de Hastad? Il me ressemble à un chien qui court après sa propre queue ...

— Alessandro Cosentino

C'est ainsi que la borne inférieure de la taille d'un circuit AC0 se rapprochant de la parité est dérivée dans les notes de Ryan O'Donnell . Voir corollaire 32.

— Sasho Nikolov

Je pense que la question la plus intéressante est dans votre commentaire: chaque fonction dont le spectre de Fourier est concentré sur des coefficients de bas niveau calculables par des circuits AC0 de petite taille.

— Sasho Nikolov

@Strattav Ensuite, vous pouvez poser cette question.

— Tyson Williams,

Le théorème LMN montre que si f est une fonction booléenne calculable par un circuit de taille M, $(f:\{-1,1\}^n \rightarrow \{-1,1\})$ $\text{AC}^0$

\sum_{S : | S | > k} \hat{f} (S)^{2} \leq 2^{- Ω (k / (\log M)^{d - 1})}

$\sum_{S:|S|> k} \hat f(S)^{2} \leq 2^{-\Omega(k/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow \hat f([n])^{2} \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

n'est rien d'autre que la corrélation de f avec la fonction de parité . Soit être la fraction d'entrées où diffère de . $|\hat f([n])|$ $(\prod_{i = 1}^{n}x_i)$ $\delta$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} 1 - 2 δ \leq | 1 - 2 δ | & = | \hat{f} ([n]) | \leq 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow δ & \geq 1 - 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} 1 -2 \delta \leq |1 - 2\delta| &= |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow \delta &\geq 1 - 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})} \end{align}$

$poly(n)$ $f$ $PARITY$ ,

\begin{aligned} δ & \leq \frac{1}{2^{n}} \\ \Rightarrow 2^{n} & \geq 2^{(c n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow (\log M)^{d - 1} & \geq (c - 1) n \\ \Rightarrow M & \geq 2^{Ω (n^{1 / d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} \delta &\leq \frac{1}{2^n}\\ \Rightarrow 2^n &\geq 2^{(cn/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow (\log M)^{d-1} &\geq (c-1)n \\ \Rightarrow M &\geq 2^{\Omega (n^{1/d-1})} \end{align}$

So, LMN theorem not only proves that $PARITY$ cannot be computed by $AC^{0}$ circuits, it also shows that $PARITY$ has low correlation with $AC^{0}$ circuits.

— Tulasi
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