Le problème suivant NP est-il difficile?

Considérons une collection d'ensembles sur un ensemble de base où et , et soit un entier positif. $F=\{F_1,F_2,\dotsc,F_n\}$ $U=\{e_1,e_2,\dotsc,e_n\}$ $|F_i|$ $\ll$ $n$ $e_i \in F_i$ $k$

L'objectif est de trouver une autre collection d'ensembles sur de sorte que chaque peut être écrit comme une union d'au plus mutuellement disjoints fixe en et nous voulons aussi être minimal (c.-à-d. le nombre total d'éléments dans tous les ensembles de $C=\{C_1,C_2,\dotsc,C_m\}$ $U$ $F_i$ $k$ $(k<<|C|)$ $C$ $\sum_1^m |C_j|$ $C$ doit être aussi petit que possible).

Notez que a la même taille que , mais la taille de est incertaine. $F$ $U$ $C$

Quelqu'un peut-il dire si le problème ci-dessus est difficile à NP? (ensemble couvrant？ emballage？ revêtement parfait）

Merci pour votre temps.

— Rhein
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Je ne comprends pas quel est le "problème". A quoi voulez-vous répondre?

— Ankur

Pourquoi ce problème n'est-il pas trivial en définissant C = {U}?

— Tsuyoshi Ito

Outre la signification précise de «beaucoup plus petit», j'ai toujours du mal à comprendre le problème. Comme indiqué dans la révision 11, il me semble que la solution optimale est toujours C = ∅ ou C = {∅}. Si nous ajoutons une contrainte que C contient au moins un ensemble non vide comme élément, alors C = {{e}} pour un élément e someU sera optimal.

— Tsuyoshi Ito

Veuillez lire attentivement votre propre question. Vous n'avez jamais dit que C devait être choisi pour que F_i puisse être écrit comme une union d'ensembles de C.

— Tsuyoshi Ito

Puis-je voir le problème NORMAL SET BASIS comme un sous-problème de l'original?

— Rhein

Lemme. Le problème est NP-difficile.

Croquis de preuve. Nous ignorons les contraintes dans le problème affiché, car, pour toute instance du problème, l'instance obtenue en prenant l'union de copies indépendantes de (où le $|F_i| \ll n = |U|$ $(F,U,k)$ $(F'=F^n,U'=U^n,k)$ $n$ $(F,U,k)$ $i$ e copie de utilise la ème copie de comme ensemble de base) est équivalente et satisfait la contrainte (elle a ). $F$ $i$ $U$ $|F'_i| \le n \ll n^2 = |U'|$

Nous offrons une réduction de 3-SAT. Pour la présentation, dans la première étape de la réduction, nous ignorons les contraintes dans le problème affiché. Dans la deuxième étape, nous décrivons comment répondre à ces contraintes tout en conservant l'exactitude de la réduction. $e_i \in F_i$

Première étape. Fixez toute formule 3-SAT . Supposons WLOG que chaque clause a exactement trois littéraux (chacun utilisant une variable différente). Produisez l'instance suivante du problème publié, avec . $\phi$ $(F,U,k)$ $k=3$

Soit le nombre de variables dans . Il y a éléments dans : un élément (pour "vrai"), et, pour chaque variable dans , trois éléments , et (pour "faux"). $n$ $\phi$ $3n+1$ $U$ $t$ $x_i$ $\phi$ $x_i$ $\overline x_i$ $f_i$

Pour chaque élément en il existe un ensemble de singleton contenant seulement cet élément dans . Toute solution comprend donc chacun de ces ensembles, qui contribuent leur taille totale au coût de . $U$ $F$ $C$ $3n+1$ $C$

En outre, pour chaque variable dans il existe un ensemble de "variable" dans . Pour chaque clause de il existe une "clause" définie dans constituée des littéraux de la clause, et . Par exemple, la clause donne l'ensemble $x_i$ $\phi$ $\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$ $F$ $\phi$ $F$ $t$ $x_1\wedge \overline x_2 \wedge x_3$ dans . $\{x_1, \overline x_2, x_3, t\}$ $F$

Allégation 1. La réduction est correcte: est satisfaisable si une solution a coûté . $\phi$ $C$ $\sum_j |C_j| = 5n+1$

(seulement si) Supposons que soit satisfaisable. Construire une solution constituée des ensembles singleton, plus, pour chaque variable , la paire constituée du vrai littéral et de . (Par exemple, si est faux.) Le coût de est alors . $\phi$ $C$ $3n+1$ $x_i$ $t$ $\{\overline x_i, t\}$ $x_i$ $C$ $5n+1$

Chaque ensemble de variables est l'union de trois ensembles: la paire constituée du vrai littéral et de , plus deux ensembles singleton, un pour chacun des deux autres éléments. (Par exemple, .) $\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$ $t$ $\{\overline x_i, t\}, \{x_i\}, \{f_i\}$

Chaque ensemble de clauses (par exemple ) est l'union de trois ensembles: une paire composée de et d'un vrai littéral, plus deux ensembles singleton, un pour chacun des deux autres littéraux. (Par exemple, .) $\{x_1, \overline x_2, x_3, t\}$ $t$ $\{x_1, t\}, \{\overline x_2\}, \{x_3\}$

(si) Supposons qu'il existe une solution de taille . La solution doit contenir les ensembles singleton, plus d'autres ensembles de taille totale . $C$ $5n+1$ $3n+1$ $2n$

Considérons d'abord les "variables", chacun de la forme . L'ensemble est l'union disjointe d'au plus trois ensembles en . Sans perte de généralité, c'est l'union disjointe de deux singletons et d'une paire (sinon, le fractionnement des ensembles en permet d'atteindre cet objectif sans augmenter le coût). Notons la paire . Les paires et pour différentes variables et sont distinctes, car $n$ $\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$ $C$ $C$ $P_i$ $P_i$ $P_j$ $x_i$ $x_j$ contient , ou mais n'en contient pas. Par conséquent, la somme des tailles de ces paires est de . Ces paires sont donc les seuls ensembles non singleton de la solution. $P_i$ $x_i$ $\overline x_i$ $f_i$ $P_j$ $2n$

Considérons ensuite les ensembles de «clauses», par exemple, . Chacun de ces ensembles doit être l'union d'au plus trois ensembles en , c'est-à-dire jusqu'à deux ensembles singleton et au moins une paire , ou . En examinant les paires et l'ensemble de clauses, il doit s'agir de l'union de deux singletons et d'une paire, et cette paire doit être de la forme ou $\{x_i, \overline x_j, x_k, t\}$ $C$ $P_i$ $P_j$ $P_k$ $\{x_i, t\}$ $\{\overline x_j, t\}$ (un littéral et un ). $t$

Par conséquent, l'affectation suivante satisfait : affectez true à chaque variable telle que , affectez false à chaque variable telle que , et affectez la variables restantes arbitrairement. $\phi$ $x_i$ $P_i=\{x_i, t\}$ $x_i$ $P_i=\{\overline x_i, t\}$

Étape 2. L'instance produite ci-dessus ne satisfait pas la contrainte énoncée dans la description du problème. Corrigez cette lacune comme suit. Ordonnez les ensembles et les éléments dans sorte que chaque ensemble singleton corresponde à son élément . Soit le nombre de clauses dans , donc $(F,U,k=3)$ $e_i \in F_i$ $F_i$ $e_i$ $U$ $e_i$ $m$ $\phi$ et . $|F|=1+4n+m$ $|U|=1+3n$

Soit l'instance obtenue comme suit. Soit un ensemble de nouveaux éléments artificiels, deux pour chaque ensemble non-singleton dans . Laissez . Soit les ensembles singleton de , plus, pour chaque ensemble non singleton dans , deux ensembles $(F', U', k'=4)$ $A$ $2n+2m$ $F$ $U'=U\cup A$ $F'$ $F$ $F_i$ $F$ et , où et sont deux éléments de choisis uniquement pour . Maintenant et (avec le bon ordre de et ) la contrainte $F_i\cup \{a_i, a_i'\}$ $\{a_i,a_i'\}$ $a_i$ $a_i'$ $A$ $F_i$ $|F'|=|U'|=1+5n+2m$ $F'$ $U'$ est respecté pour chaque ensemble . $e'_i\in F'_i$ $F'_i$

Pour finir, notons que a une solution de coût si l'instance d'origine a une solution de coût . $(F',U',k'=4)$ $|A|+5n+1$ $(F, U, k=3)$ $5n+1$

(si) Compte tenu de toute solution de coût pour , en ajoutant les ensembles (une pour chaque non-singleton , de sorte que ceux - ci la partition ) à donne une solution à de coût $C$ $5n+1$ $(F,U,k=3)$ $n+m$ $\{a_i, a'_i\}$ $F_i$ $A$ $C$ $(F', U', k'=4)$ . $|A|+cost(C)=|A|+5n+1$

(seulement si) Considérons une solution pour de coût . Considérons toute paire d'ensembles non singleton et dans . Chacun est l'union disjointe d'au plus 4 ensembles en $C'$ $(F', U',k=4)$ $|A|+5n+1$ $F_i\cup\{a_i, a_i'\}$ $\{a_i, a_i'\}$ $F'$ . Par un argument d'échange local,un de ces ensembles est et le reste ne contient pas ou --- sinon cette propriété peut être réalisé par une modification locale des ensembles, sans augmenter le coût ... (le manque de détails est la raison pour laquelle j'appelle cela uneesquisse depreuve). Donc la suppression des ensembles de donne une solution pour $C'$ $\{a_i, a_i'\}$ $a_i$ $a_i'$ $\{a_i, a_i'\}$ $C'$ $C$ de coût . $(F,U,k=3)$ $5n+1$ $\diamond$

— Neal Young
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