Paysage des systèmes de preuve interactifs

Ma première question est de savoir si une caractérisation de système de preuve interactive est connue pour toutes les classes de complexité classiques. J'appellerais P, NP, PSPACE, EXP, NEXP, EXPSPACE, les fonctions récursives et récursivement énumérables (entre autres). Plus précisément, une caractérisation de système de preuve interactive est-elle connue pour les fonctions récursives et récursivement énumérables?

Je sais seulement que IP = PSPACE et que MIP = NEXPTIME. Par «savoir», je comprends les définitions des objets des deux côtés de l'égalité et éventuellement de l'égalité.

Ma deuxième question est de savoir s'il existe un résumé graphique des différents types de systèmes de preuve interactifs et des classes de complexité qu'ils caractérisent.

Plus précisément, je voudrais une référence à une figure similaire à l'image d'Immerman des caractérisations de complexité de description .

cc.complexity-theory big-picture interactive-proofs

— Vijay D
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Que savez-vous déjà?

— Tsuyoshi Ito

Il y a plus d'un paramètre variable dans un système de preuve interactif: quelle est la puissance du vérificateur, quelle est la puissance du prouveur, quel type (et quantité) de communication sont-ils autorisés, ont-ils un caractère aléatoire pré-partagé, le vérificateur fait-il devez lire le message entier du prouveur ou a-t-il un accès aléatoire au message, etc.

— Robin Kothari

Après un peu plus de réflexion, je ne pense pas pouvoir répondre à votre question de manière adéquate car le système de preuve interactif est un sujet large dans la théorie de la complexité computationnelle. Vous pouvez consulter le chapitre 9 de Computational Complexity: A Conceptual Perspective de Goldreich ou les chapitres 8 et 11 de Computational Complexity: A Modern Approach de Arora et Barak.

— Tsuyoshi Ito

@VijayD: Oui, cela fait partie du problème. Dans les caractérisations de complexité descriptive, il y a une variable (la logique), donc lorsque vous montez de FO à SO, vous passez de AC0 à PH, etc. Dans les systèmes de preuve interactifs, il y a tellement de variables qu'il n'est pas clair qu'une belle le paysage peut être dessiné.

— Robin Kothari

Je ne suis pas sûr que cette question soit suffisamment précise. Il y a une réponse triviale: chaque classe peut être "caractérisée" comme une "preuve interactive" où le prouveur ne fait pas grand-chose et le vérificateur est assez puissant. La chose intéressante à propos des résultats IP = PSPACE et MIP = NEXP (et PCP [O (\ log n), O (1)] = NP) est que le vérificateur est étonnamment faible.

— Sasho Nikolov

Réponses:

Vous pouvez trouver de nombreuses caractérisations (en particulier sur les vérificateurs délimités par l'espace) dans la célèbre enquête de Condon: La complexité des systèmes de preuve interactifs délimités par l'espace .

En voici une liste:

, où 2pfa (le vérificateur) est un automate fini probabiliste à deux voies. $\mathsf{RE} = \mathsf{weak\mbox{-}IP(2pfa)}$
, où pfa (le vérificateur) est un automate fini probabiliste unidirectionnel interagissant avec deux prouveurs. $\mathsf{R} = \mathsf{2IP(pfa)}$
. $\mathsf{NEXP} = \mathsf{2IP(pfa,poly\mbox{-}time)}$
. $\mathsf{PSPACE} = \mathsf{IP(log\mbox{-}space,poly\mbox{-}time)}$
. $\mathsf{NP} = \mathsf{oneway\mbox{-}IP(log\mbox{-}space,poly\mbox{-}time)} = \mathsf{oneway\mbox{-}IP(log\mbox{-}space,log\mbox{-}random\mbox{-}bits)}$
, $\mathsf{P} = \mathsf{AM(log\mbox{-}space)}$ , etc. $\mathsf{EXP} = \mathsf{AM(poly\mbox{-}space)}$

Quelques résultats récents (principalement quantiques):

parYakaryilmaz, où 2qcfa (le vérificateur) est un automate fini à deux voies ayant un registre quantique de taille constante. $\mathsf{RE} = \mathsf{weak\mbox{-}AM(2qcfa)}$
parYakaryilmaz, où 2pca (l'ancien vérificateur) est un automate fini probabiliste à deux voies avec un compteur et 2qca (ce dernier vérificateur) est un deux -automate fini quantique à deux voies avec un compteur. $\mathsf{R} = \mathsf{IP(2pca)} = \mathsf{AM(2qca)}$
Ito, Kobayashi et Watrous ont donné une nouvelle caractérisation d' basée sur des systèmes de preuve interactifs quantiques avec un écart doublement exponentiellement faible dans la probabilité d'acceptation entre les cas d'exhaustivité et de solidité. $\mathsf{EXP}$
parJain, Ji, Upadhyay et Watrous, où QIP est la généralisation quantique des systèmes IP. $\mathsf{PSPACE} = \mathsf{QIP(poly\mbox{-}time)}$
$\mathsf{NP}$
$\mathsf{NL} = \mathsf{weak\mbox{-}oneway\mbox{-}IP(2pfa,constant\mbox{-}random\mbox{-}bits)}$

— Abuzer Yakaryilmaz
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Merci! C'est exactement ce que je voulais. Je ne savais pas comment améliorer ma question, qui était trop vague pour les experts, et je suis heureux que vous ayez compris mon intention.

— Vijay D

Eh bien, pourquoi ne la marquez-vous pas comme la meilleure réponse?

— Cem Say

Parce que qui sait ce que demain apportera? Je voudrais une semaine ou 10 jours après la publication pour décider.

— Vijay D

NP est souvent caractérisé comme un système de preuve dans lequel le prouveur envoie une preuve de longueur polynomiale à un vérificateur déterministe de temps polynomial, et après quoi il n'y a plus d'interaction. La classe des langages récursivement énumérables peut être caractérisée de la même manière en remplaçant "polynôme" par "fini".

De plus, étant donné que la classe des langages récursifs R est l'intersection de RE et coRE, vous pouvez caractériser R comme un système de preuve dans lequel un prouveur tout-puissant peut convaincre un vérificateur à temps fini à la fois dans la validité des revendications correctes et dans l'invalidité de fausses allégations.

La classe EXP a une caractérisation en termes de système de preuve avec des "prouveurs concurrents" - c'est-à-dire un système de preuve dans lequel il y a un prouveur qui essaie de convaincre le vérificateur que la réclamation est vraie et un réfuteur qui essaie de convaincre le vérificateur que la réclamation est fausse. Voir l'article "Faire des jeux courts" de Feige et Kilian pour plus de détails.

— Ou Meir
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