Degré approximatif de

EDIT (v2): Ajout d'une section à la fin sur ce que je sais du problème.

EDIT (v3): Ajout d'une discussion sur le degré de seuil à la fin.

Question

Cette question est principalement une demande de référence. Je ne connais pas grand-chose au problème. Je veux savoir s'il y a eu des travaux antérieurs sur ce problème, et si oui, quelqu'un peut-il m'indiquer des articles qui parlent de ce problème? Je voudrais également connaître les meilleures limites actuelles sur le degré approximatif de . Toute autre information serait également appréciée (par exemple, informations historiques, motivation, relation avec d'autres problèmes, etc.). $\textrm{AC}^0$

Définitions

Soit une fonction booléenne. Soit un polynôme sur les variables à avec des coefficients réels. Le degré d'un polynôme est le degré maximal sur tous les monômes. Le degré d'un monôme est la somme des exposants des différents qui apparaissent dans ce monôme. Par exemple . $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $p$ $x_1$ $x_n$ $x_i$ $\textrm{deg}(x_1^7x_3^2) = 9$

Un polynôme est dit -approximé si pour tout . Le degré -approximate d'une fonction booléenne , noté , est le degré minimum d'un polynôme qui -approximates . Pour un ensemble de fonctions, , est le degré minimum tel que chaque fonction dans puisse être -approximée par un polynôme de degré au plus $p$ $\epsilon$ $f$ $|f(x)-p(x)|<\epsilon$ $x$ $\epsilon$ $f$ $\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(f)$ $\epsilon$ $f$ $F$ $\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(F)$ $d$ $F$ $\epsilon$ $d$ .

Notez que chaque fonction peut être représentée sans erreur par un polynôme de degré . Certaines fonctions ont vraiment besoin d'un polynôme de degré pour se rapprocher de toute erreur constante. La parité est un exemple d'une telle fonction. $n$ $n$

Énoncé du problème

Qu'est-ce que ? (La constante 1/3 est arbitraire.) $\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$

Remarques

J'ai rencontré ce problème dans l'article The Quantum Query Complexity of AC0 de Paul Beame et Widad Machmouchi. Ils disent

De plus, nos résultats ne font rien pour combler l'écart dans la borne inférieure du degré approximatif des fonctions AC0.

Ils mentionnent également "le problème du degré approximatif de AC0" dans leurs remerciements.

Donc je suppose qu'il y a eu du travail sur ce problème avant? Quelqu'un peut-il m'indiquer un document qui parle du problème? Et quelles sont les limites supérieures et inférieures les plus connues?

Ce que je sais du problème (cette section a été ajoutée dans la version 2 de la question)

La borne supérieure la plus connue sur qui est connue est la borne supérieure triviale . La meilleure limite inférieure que je connaisse provient de la limite inférieure d'Aaronson et Shi pour les problèmes de collision et de distinction des éléments, ce qui donne une limite inférieure de . (Pour les versions sévèrement restreintes de , comme les formules avec la taille de formule ou les circuits de profondeur 2 avec les portes , nous pouvons prouver une limite supérieure en utilisant la complexité des requêtes quantiques.) $\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$ $n$ $\tilde{\Omega}(n^{2/3})$ $\textrm{AC}^0$ $o(n^2)$ $o(n^2)$ $o(n)$

Connexes: seuil de degré (ajouté dans la v3)

Comme Tsuyoshi le souligne dans les commentaires, ce problème est lié au problème de la détermination du degré seuil de . Le degré seuil d'une fonction est le degré minimum d'un polynôme tel que et . $\textrm{AC}^0$ $f$ $p$ $f(x)=1 \implies p(x)>0$ $f(x)=0 \implies p(x)<0$

Sherstov a maintenant amélioré les limites inférieures du degré seuil de . Il présente une famille de formules à lecture constante à profondeur constante sur variables dont le degré seuil s'approche de lorsque la profondeur va à l'infini, ce qui est presque serré car les formules à lecture unique ont un seuil (et même approximatif ) degré . Voir http://eccc.hpi-web.de/report/2014/009/ . (Janvier 2014) $\mathrm{AC}^0$ $n$ $\Omega(\sqrt{n})$ $O(\sqrt{n})$

— Robin Kothari
source

Une borne inférieure Ω (n ^ (1/3)) est connue même pour le degré seuil (le degré minimum d'un polynôme p tel que f (x) = 1 ⇒ p (x)> 0 et f (x) = 0 ⇒ p (x) <0). Voir la fin de la section 3.1 de «Limites inférieures de communication utilisant des polynômes doubles» par Sherstov .

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: Merci. Le degré seuil (qui limite le degré approximatif) de AC0 est également une question intéressante. Les meilleures limites inférieures que je connaisse pour le degré de seuil de AC0 se trouvent dans les nouvelles limites de degré pour les fonctions de seuil polynomiales par O'Donnell et Servedio. La borne inférieure est meilleure que Ω (n ^ (1/3)) par un facteur logarithmique qui croît avec la profondeur du circuit.

— Robin Kothari

Oups, vous avez raison, la borne inférieure du degré d'approximation pour AC0 est évidente pour Aaronson et Shi. Que je suis bête. Merci aussi pour le pointeur sur O'Donnell et Servedio.

\tilde{Ω} (n^{2 / 3})

$\tilde{\Omega}(n^{2/3})$

— Tsuyoshi Ito

Un article récent de Mark Bun et Justin Thaler intitulé "L'amplification de la dureté et le degré approximatif des circuits à profondeur constante" traite également brièvement de ce problème. Ils disent que la borne inférieure d'Aaronson et Shi est la borne inférieure la plus connue pour une fonction dans AC <sup> 0 </sup> et que la borne inférieure tient même dans un modèle légèrement plus général.

— Robin Kothari

Un article de Mark Bun et Justin Thaler a été publié sur ECCC très récemment (mi-mars 2017) qui répond précisément à cette question: «Une limite inférieure presque optimale sur le degré approximatif de AC0»

$\delta > 0$ $f$ $\mathrm{AC}^0$ $\widetilde{\mathrm{deg}}_{1/3}(f) = \Omega(n^{1-\delta})$ $O(n)$

$f$ $d$ $F$ $O(n \cdot \mathrm{polylog}(n))$ $D = Ω(n^{1/3} · d^{2/3} )$ $d = n^{1−Ω(1)}$ $D$ $d$ $f$ $F$

Il s'agit de la mise à jour la plus récente sur l'extrémité inférieure de ce problème, et c'est un pas en avant assez important. Les sections Introduction et Application de l'article sont également de bonnes sources de références pour des travaux antérieurs et des problèmes connexes.

Avertissement: je n'ai pas encore lu attentivement le document.

— UN
source

En effet, cela résout presque le problème. Ils montrent également un DNF de taille quasipolynomiale avec un degré approximatif .

Ω (n^{1 - δ})

$\Omega(n^{1-\delta})$

— Robin Kothari