Comprendre une preuve de conception de mécanisme

J'ai eu du mal avec les détails techniques d'une preuve concernant la théorie des enchères dans cet article: http://users.eecs.northwestern.edu/~hartline/omd.pdf

Plus précisément, le théorème 2.5: les conditions nécessaires et suffisantes pour un mécanisme véridique.

Plus précisément, dans le sens direct de la preuve, donnée à la page 6. Définissant une valeur véridique comme , et une valeur générale, peut-être fausse (par exemple, une enchère) comme , l'auteur continue de postuler deux quantités supplémentaires, et . $v_i$ $b_i$ $z_1$ $z_2$

Il stipule ensuite que , , ce qui donne une inégalité basée sur le travail précédent de l'article. $v_i = z_1$ $b_i = z_2$

Il stipule également que , , ce qui donne une inégalité similaire mais différente sur la base des travaux précédents de l'article. $v_i = z_2$ $b_i = z_1$

D'accord, assez juste. Il soustrait ensuite une inégalité de l'autre et procède à dériver le résultat souhaité sur la base de l'algèbre conséquente. Je ne comprends pas pourquoi cette soustraction est justifiée - il semble soustraire deux inégalités qui sont basées sur des hypothèses entièrement différentes (en fait, opposées), et chaque fois que je le vois, je suis jeté violemment hors de la pensée.

Je suis presque sûr d'avoir vu cette approche de base ailleurs (le livre de Shoham et Leyton-Brown? Je ne l'ai pas à portée de main pour vérifier), donc cela semble être une idée courante, mais je ne peux pas la dépasser. Quelqu'un peut-il m'aider à comprendre pourquoi cela est valable ou m'expliquer ce qui me manque?

(J'ai essayé de prouver le résultat souhaité en supposant trois valeurs - une vraie valeur , et deux enchères, et - pour obtenir le résultat souhaité, mais a également échoué. Il peut donc non seulement être courant, mais nécessaire de faites comme l'auteur. Mais je ne le comprends toujours pas.) $v_i$ $b_1$ $b_2$

Mise à jour: je savais que j'avais vu quelque chose de similaire dans le livre de Shoham et Leyton-Brown . Ce n'est pas exactement la même chose, mais c'est très similaire et traite de la même équation et du même sujet. C'est le cas 1 du théorème 10.4.3.

En partant du contexte des mécanismes véridiques, ils supposent d'abord un véridique et un faux et en déduisent que le paiement basé sur est inférieur ou égal au paiement basé sur , par exemple, . Ils supposent alors le contraire, un vrai et un faux , et en déduisent le résultat opposé, que le paiement basé sur est inférieur au paiement basé sur , par exemple, . D'accord, cela a du sens. $v_i$ $v_i'$ $v_i$ $v_i'$ $P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$ $v_i'$ $v_i$ $v_i'$ $v_i$ $P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$

Ils soutiennent ensuite que les paiements basés sur et doivent être égaux, comme s'ils disaient que et sont simultanément vrais, même bien qu'ils soient le résultat d'hypothèses non seulement différentes, mais opposées. $v_i$ $v_i'$ $P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$ $P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$

gt.game-theory

— Novak
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Réponses:

La réponse est que le mécanisme doit être véridique pour chaque ensemble de types possibles: le mécanisme ne sait pas quels sont les vrais types à l'avance. Donc pour une paire de types et , le mécanisme doit être véridique si le vrai type d'un agent est : ie son utilité doit être plus grande s'il offre que s'il offre . Mais le mécanisme doit également être véridique si le vrai type de l'agent est ! Après tout, en ce qui concerne le mécanisme, c'est possible! Donc dans ce cas, l'utilité d'un agent doit être plus grande s'il offre par rapport à . $v_i$ $v_i'$ $v_i$ $v_i$ $v_i'$ $v_i'$ $v_i'$ $v_i$

Le fait est que la véracité impose simultanément de nombreuses inégalités différentes au même mécanisme: une pour chaque type qu'un agent pourrait avoir et pour chaque écart qu'il pourrait considérer. Tous tiennent. Cette preuve utilise seulement deux de ces inégalités

— Aaron Roth
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Je pense que je commence enfin à comprendre cela. En fait, savoir que la preuve est correcte (et pourquoi) m'impressionne encore plus à quel point le concept de «véracité» est strict et puissant. Je vous remercie.

— Novak

Je pense que ce que vous voulez, c'est la proposition suivante.

Proposition. Soit et ensembles. Soit et . Supposons que pour tout nous avons $V$ $A$ $f:V^n\to A$ $p_1,\dots,p_n:V^n\to\mathbb{R}$ $i,x_i,y_i,v_{−i}$ Alors pour tout on a

X_{je} (F (X_{je}, v_{- je})) - p_{je} (X_{je}, v_{- je}) \geq X_{je} (F (y_{je}, v_{- je})) - p_{je} (y_{je}, v_{- je}) .

$x_i (f(x_i , v_{−i})) − p_i (x_i , v_{−i}) \geq x_i (f(y_i , v_{−i})) − p_i (y_i , v_{−i}).$

i, v_{i}, v_{i}^{'}, v_{- i}

$i,v_i,v'_i,v_{-i}$

v_{je} (F (v_{je}, v_{- je})) - v_{je} (F (v_{je}^{'}, v_{- je})) \geq v_{je}^{'} (F (v_{je}, v_{- je})) - v_{je}^{'} (F (v_{je}^{'}, v_{- je})) .

$v_i(f(v_i,v_{-i}))-v_i(f(v'_i,v_{-i}))\geq v'_i(f(v_i,v_{-i}))-v'_i(f(v'_i,v_{-i})).$

Preuve. En posant et on a $x_i=v_i$ $y_i=v'_i$ En posantet on a

v_{je} (F (v_{je}, v_{- je})) - p_{je} (v_{je}, v_{- je}) \geq v_{je} (F (v_{je}^{'}, v_{- je})) - p_{je} (v_{je}^{'}, v_{- je}) .

$v_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}) \geq v_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}).$

x_{i} = v_{i}

$x_i=v_i$

y_{i} = v_{i}^{'}

$y_i=v'_i$

Le résultat s'ensuit en ajoutant ces inégalités et en les réorganisant.

v_{je}^{'} (F (v_{je}^{'}, v_{- je})) - p_{je} (v_{je}^{'}, v_{- je}) \geq v_{je}^{'} (F (v_{je}, v_{- je})) - p_{je} (v_{je}, v_{- je}) .

$v'_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}) \geq v'_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}).$

L'interprétation de la conception du mécanisme de cette proposition est que chaque mécanisme compatible avec les incitations (c'est-à-dire à l'épreuve de la stratégie, c'est-à-dire véridique) a une "faible monotonie".

Pour une raison quelconque, il est conventionnel d'argumenter en se référant aux vraies offres et mensonges. Dans ce contexte, "true" et "lie" ne sont que des noms de variables, comme "x" et "y". Il est bon d'utiliser le même nom pour faire référence à différentes choses dans des arguments séparés, car il n'y a pas de différence formelle entre une vraie offre et un mensonge.

— Colin McQuillan
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Telle est la proposition en question. (Bien que je pense que vous avez une faute de frappe dans la troisième ligne de votre preuve - les affectations v_i devraient être échangées à partir de la première ligne.) Je ne sais toujours pas pourquoi il est acceptable d'ajouter les deux inégalités lorsqu'elles résultent d'hypothèses différentes. Oui, il n'y a pas de différence formelle entre une vraie et une fausse offre; ce sont deux chiffres. Mais ce sont (ou pour être précis, ils peuvent être) des nombres différents .

— Novak

g (a, b) = 1

$g(a,b)=1$

a, b

$a,b$

g (x, y) - g (y, x) = 0

$g(x,y)-g(y,x)=0$

x, y

$x,y$

Oui. Mais permettez-moi de mordiller cela un peu dans le contexte de la conception du mécanisme. (Et en même temps, mettez à jour mon message d'origine dans Mathjax, et ajoutez le cas similaire que j'ai déterré de Shoham et Leyton-Brown.)

— Novak

x_{i}

$x_i$

y_{i}

$y_i$

g (a, b) = 1

$g(a,b) = 1$

a

$a$

b

$b$

g (x, y) - g (y, x) = 0

$g(x,y) - g(y,x) = 0$

x

$x$

y

$y$