La mafia est-elle difficile?

Mafia est un jeu de rôle populaire lors des fêtes, une description détaillée est disponible sur wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Mafia_%28game%29 .

Fondamentalement, cela fonctionne comme suit:

• Au début, chacun des joueurs se voit secrètement assigner un rôle, soit aligné avec la mafia soit avec la ville. Chaque rôle peut avoir des capacités spéciales; plus à ce sujet plus tard.$N$

• Il y a deux phases de jeu: Jour et Nuit. La nuit, la mafia peut communiquer secrètement entre elles; et ils peuvent s'entendre sur un joueur cible qu'ils assassinent cette nuit-là. Au jour, tous les joueurs (vivants) communiquent dans un forum ouvert. Les joueurs peuvent accepter de lyncher un joueur, une majorité absolue de tous les joueurs est nécessaire.

• Le jeu se termine s'il ne reste que la mafia ou la ville. Le parti survivant gagne.

• Supposons qu'il existe trois rôles: citoyen, enquêteur et mafieux. Les citoyens n'ont aucun pouvoir. Les mafiosi n'ont pas d'autre capacité que de pouvoir communiquer entre eux la nuit et de voter pour une victime de meurtre chaque nuit. Les enquêteurs peuvent enquêter sur un autre joueur chaque nuit, en découvrant leur rôle exact.

• Supposons que le jeu commence le jour et que le rôle d'un joueur se révèle à la mort

Stratégies gagnantes

Étant donné une configuration de Investigators, Citizen et Mafiosi, nous disons que la configuration est gagnante pour la ville , s'il existe une stratégie pour les joueurs de la ville, de sorte qu'ils gagnent, peu importe comment La mafia joue.i c $(i,c,m)$$i$$c$$m$

Notez que nous pouvons supposer que la mafia joue avec des informations complètes, car nous voulons rendre compte de toute décision qu'elle peut prendre.

Exemple: la configuration gagne pour Town.$(4,1,1)$

Jour 1: Tous les joueurs de la ville rapportent honnêtement leur rôle dans le chat ouvert. Le joueur mafieux doit prétendre être enquêteur ou citoyen.

S'il revendique citoyen, alors le mafieux est l'un des deux citoyens présumés. Chaque enquêteur peut enquêter sur l'un ou l'autre et découvrira le vrai. Au plus, un enquêteur peut mourir dans la nuit, et les deux autres pendent simplement le mafieux.

Par conséquent, le mafieux doit réclamer l'enquêteur. Il y a 5 enquêteurs présumés. Dans le chat ouvert, les enquêteurs conviennent d'une permutation pour se vérifier mutuellement.

Nuit 1: Les enquêteurs vérifient leurs cibles et le mafieux en tue un.

Jour 2: Il reste 3 enquêteurs. Tous les enquêteurs présumés rendent compte de leurs conclusions. Peu importe qui a été tué, au moins l'un d'entre eux est également confirmé par un autre enquêteur vivant. Depuis que le mafieux a revendiqué l'enquêteur, il doit également dire si sa cible assignée était la mafia ou non. S'il encadre quelqu'un, alors la ville sait que lui, ou le cadré est la mafia, contre l'autre ville confirmée. S'il ne cadre personne, il y aura également 3 Town confirmés. Quoi qu'il en soit, ne pendre personne et enquêter sur les 2 seuls suspects restants gagne pour Town.

Des questions

• Est-il difficile de décider si une configuration donnée admet une stratégie gagnante pour Town? Intuitivement, cela ressemble à un problème complet Quelqu'un peut-il proposer une réduction?$PSPACE$
• Pouvons-nous trouver des configurations gagnantes minimales? Comme dans peut-on minimiser les rapports ou ( i + c ) : m ?$i:m$$(i+c):m$

Voici une référence que vous voudrez consulter: http://www.jstor.org/stable/10.2307/25442651

Mafia: Une étude théorique des acteurs et des coalitions dans un environnement d'information partielle Braverman, M. et Etesami, O. et Mossel, E. The Annals of Applied Probability 2008

Tout d'abord, notez qu'il est toujours avantageux de commencer le jeu en demandant à chaque citoyen son rôle si nous recherchons une stratégie gagnante déterministe pour Town. C'est parce que si peu importe ce que les Mafiosi déclarent que la Ville gagne, alors ce n'est évidemment pas un mal à demander. Et si les mafiosi peuvent se déclarer quelque chose et gagner dans ce cas, alors ils prétendent avoir fait la déclaration et agir en conséquence.

De plus, un jeu comme celui-ci ne sera probablement pas complet sur PSPACE car il n'y a pas de structure sous-jacente. Je crois fermement qu'il n'est pas difficile d'analyser le jeu pour toutes les valeurs de i, c, m. Ci-dessous, je fais cela pour m = 1. Supposons donc désormais qu'il n'y a qu'un seul mafieux, M, et le jeu commence par demander les rôles. Maintenant, M prétend enquêteur ou citoyen. Vérifions les deux cas.

Cas 1: M affirme un enquêteur

Si i = 0, alors Town gagne si c est au moins 2.

Si i = 1, alors Town gagne si c est au moins 4. Pour les petits nombres, ils perdent parce que M peut tuer un citoyen chaque nuit.

Si i = 2, alors Town gagne si c est au moins 3. Les 3 enquêteurs présumés peuvent se demander dans un ordre circulaire. M est révélé à moins que l'un d'eux ne meure, il doit donc tuer un enquêteur. Cela réduit le jeu au cas où i = 1.

Si i = 3, alors Town gagne si c est au moins 1. Les 4 enquêteurs présumés peuvent se demander mutuellement dans un ordre circulaire. M est révélé à moins que l'un d'eux ne meure, il doit donc tuer un enquêteur. Maintenant, il y a (au plus) deux possibilités pour M et au moins 5 personnes, afin qu'elles puissent tuer les deux. Si c = 0, peu importe comment ils se demandent, M peut toujours tuer quelqu'un et rester caché (par analyse de cas), donc Town n'a pas de victoire déterministe.

Si i> = 4, alors Town gagne lorsque les enquêteurs présumés se demandent mutuellement dans un ordre circulaire, comme dans le cas i = 3.

Cas 2: M revendique la citoyenneté

Ici, le jeu est beaucoup plus simple, les enquêteurs demandent à différentes personnes à chaque tour et M en tue une chaque nuit (il vaut toujours mieux tuer un enquêteur qu'un citoyen). De plus, ils peuvent parfois voter pour tuer un citoyen (en fait, c'est toujours bien de le faire, sauf si i = 2 et c = 1). En raison de l'utilisation de la récursivité, il est préférable de permettre également aux citoyens dont l'innocence a été prouvée et de désigner leur nombre par n.

La ville gagne si

i = 0, n> = c + 2, i = 1, n> = c + 1, i = 2, n> = c-2, et d'ici nous pouvons voir (et aussi facilement prouver) que pour le général i Town gagne si et seulement si n> = c + 2-i ^ 2. Étant donné que dans le jeu réel, il n'y a pas de citoyens innocents au début, cela signifie que la ville gagne si i ^ 2> = c + 2.

En résumé: Town n'a pas de victoire déterministe si i <= 2. Pour i = 3, la ville gagne pour 1 <= c <= 7 (comme pour 0 M peut prétendre enquêteur et pour c> = 8, il peut revendiquer citoyen). Pour i> = 4, Town gagne pour c <= i ^ 2-2.