Formulaire Master Equations et Operator Sum

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Je suis plus un gars de l'optique quantique qu'un gars de l'information quantique, et je m'occupe principalement des équations principales. Je suis intéressé par la forme de somme d'opérateur, et j'aimerais dériver les erreurs dans cette forme pour un petit système quantique que je simule.

Le hic: Le système quantique est entraîné par un champ externe (classique) modélisé avec une fonction sinusoïdale, et les taux d'amortissement sont faibles, donc je ne peux pas faire une approximation d'onde rotative pour éliminer cette dépendance temporelle. Étant donné que je dois résoudre l'équation principale numériquement par intégration, et le résultat de chaque intégration au temps n'est pas une information suffisante pour comprendre ces erreurs, et j'ai besoin de faire un travail pour récupérer la matrice de super-opérateur qui a opéré sur une densité vectorisée matrice. c'est-à-dire que je donne à l'équation principale une matrice de densité vectorisée avec une seule entrée de 1 et le reste zéro, et je construis la matrice comme ça pendant un temps particulier . Suis-je sur la bonne voie ici (bilan de santé)? Plus explicitement, si $t$ $\tau$ est la forme vectorisée (donc c'est un vecteur colonne) d'une matrice de densité avec une seule entrée de 1 en position , à qui a évolué vers le temps , puis une matrice pour prendre la forme vectorielle de la matrice de densité de à est donné comme $\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})$ $i,j$ $t=0$ $\tau$ $t=0$ $t=\tau$ . $\mathbf{M}=\sum_{i,j}\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=0})\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})^\dagger$

La question: étant donné ce super-opérateur qui fait $\mathbf{M}$ , comment puis-je obtenir des opérateurs de Krauss pour l'équivalent somme d'opérateurs de qui sont sous une forme utile? c'est-à-dire que le système en question est un qubit ou un qutrit et un autre qubit ou qutrit. J'aimerais pouvoir faire la somme des opérateurs sous forme de produits tensoriels de matrices de spin sur chaque canal si possible. $\mathbf{M}\,\mathrm{vec}(\rho_0)=\mathrm{vec}(\rho_\tau)$ $\mathbf{M}$

Question secondaire: est-il une matrice Choi? $\mathbf{M}$

Note finale: J'ai accordé l'acceptation à Pinja, car j'ai utilisé le papier suggéré par Pinja. J'ai moi-même fourni une réponse ci-dessous qui remplit les détails.

quantum-information

— qubyte
source

Que voulez-vous dire par «le système en question est un qubit ou un qutrit et un autre qubit ou qutrit». - qu'est-ce que "l'autre système"? Parlez-vous de l'ancilla nécessaire pour implémenter ce canal en utilisant unitaires + traçage? Dans ce cas, notez que la dimension de l'ancilla peut aller jusqu'à D ^ 2, donc les qubits ne feront pas l'affaire.

— Norbert Schuch

Non, pour le moment, ce n'est qu'un modèle de jouet composé de deux petits systèmes quantiques qui sont couplés et ont des temps T1 et T2 différents. La réponse à cette question n'est pas très préoccupante. C'est plus un point d'intérêt, car il pourrait être utile d'en savoir plus sur la façon de procéder à l'avenir.

— qubyte

Puis-je faire migrer cette question vers la théorie CS plutôt que la physique s'il vous plaît?

— qubyte

Eh bien ... je pense que ça aurait été bien ici, mais d'accord.

— David Z

Merci. Désolé, tout simplement pas un grand fan de Physics.SE, et de toute façon, je pense que les questions de QI axées sur la recherche conviennent mieux ici (après avoir été convaincues).

— qubyte

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J'ai travaillé sur un problème très similaire sur ma thèse de maîtrise, dans laquelle j'ai étudié la dynamique non markovienne d'un qubit entraîné dans un environnement dissipatif. Mon intérêt était de vérifier que l'équation principale que j'avais obtenue était complètement positive, mais ce n'est qu'un côté de votre problème. La question s'est avérée très non triviale si aucune RWA n'est faite, mais j'ai pu obtenir des résultats en utilisant la réf. [ J Mod. Opter. 54, 1695 (2007) ] et exploitant le fait que le qubit est faiblement couplé à l'environnement. Je vais battre mon tambour et donner également la réf. à un article où je présente certains de ces résultats, [P. Haikka et S. Maniscalco, Phys. Rev. A 81, 052103 (2010)] , vous pouvez le trouver utile.

Ah! Il s'avère que je regarde le journal Andersson depuis quelques jours maintenant. Cela semble très prometteur et donne la recette la plus concrète. J'aime avoir une méthode à appliquer aux problèmes. Pour être honnête, je dois trouver un laps de temps pour vraiment m'asseoir et regarder cela. C'est plus un projet personnel pour le moment.

— qubyte

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Les références données en réponse à la mécanique quantique en tant que processus de Markov - en particulier les notes en ligne de Carlton Caves " Cartes complètement positives, cartes positives et formulaire Lindblad " - examinent des idées physiques et des outils mathématiques qui sont utiles pour répondre à la question.

$M$ $M$ $M$ $M$ est donné numériquement dans son intégralité.

$M$

Si l'on pouvait répondre efficacement à de telles questions en «tournant une manivelle algorithmique», alors la physique quantique serait un sujet beaucoup moins intéressant! :)

— John Sidles
source

C'est à peu près ce que j'espérais que ce n'était pas le cas, mais ce serait le cas. Malheureusement, le système n'a qu'une symétrie exploitable dans le cas d'un déphasage sans dépopulation. Il y a une forme très attrayante de l'équation principale de Lindblad qui recueille des termes qui ne sont pas de la forme de Krauss dans un hamiltonin non hermitien, qui, dans le cas d'une absence de dépendance temporelle dans l'hamiltonien, peut être utilisé pour choisir une base qui exprime naturellement la décroissance comme les termes Krauss restants. Bien, mais pas d'aide pour moi.

— qubyte

L'une des références dans les notes de Caves est Wolf and Cirac Dividing quantum channels (arXiv: math-ph / 0611057), que je recommande sans la moindre garantie d'avoir personnellement saisi les (nombreux et subtils) problèmes informatiques quantiques dont cet article traite! :)

M

$\mathbf{M}$

M

$\mathbf{M}$

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Je pense que ce que vous cherchez peut-être: la matrice de densité réelle . Il vous donne une recette pour la conversion entre différentes représentations de super-opérateurs (y compris en utilisant une base de produits tensoriels de Paulis). Une expérience détaillée de tomographie par processus quantique utilisant les résultats est ici: Tomographie par processus quantique de la transformée de Fourier quantique . Plus généralement, Havel a également dérivé des algorithmes pour convertir en représentations Kraus minimales ici: Procédures de conversion entre Lindblad, Kraus et les représentations matricielles des semi-groupes dynamiques quantiques .

${\rm vec}(\rho)$ $\rho$ ${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|i\rangle\otimes|j\rangle$ ${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|j\rangle\otimes|i\rangle$ ${\rm col}(\rho)$ ${\rm \bf M}^{\rm row}{\rm vec}(\rho_0)={\rm vec}(\rho_t)$ ${\rm \bf M}^{\rm col}{\rm col}(\rho_0)={\rm col}(\rho_t)$

C = \sum_{i, j} (1 \otimes | i ⟩ ⟨ j |) M^{r o w} (| i ⟩ ⟨ j | \otimes 1),

${\rm\bf C} = \sum_{i,j} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|) {\rm \bf M}^{\rm row} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}),$

C = \sum_{i, j} (| i ⟩ ⟨ j | \otimes 1) M^{c o l} (1 \otimes | i ⟩ ⟨ j |) .

${\rm\bf C} = \sum_{i,j} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}) {\rm \bf M}^{\rm col} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|).$

{| i ⟩ ⟨ j | \otimes | k ⟩ ⟨ l |}

$\{|i\rangle\langle j|\otimes |k\rangle\langle l|\}$

— Chris Ferrie
source

C'est intéressant, ça pourrait être exactement ce que je recherche ...

— qubyte

Je viens de voir votre ajout. Merci, c'est très utile. J'ai initialement pris votre version de vec, mais maintenant j'utilise les colonnes empilées. Merci à Wikipédia pour celui-là. Je devrais peut-être adopter votre notation pour plus de clarté.

— qubyte

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Comme l'a noté Pinja, un article d'Andersson et al. ( arXiv ) ( DOI ) a été particulièrement utile. Le document est très détaillé, et je me suis finalement assis aujourd'hui pour l'examiner correctement. À titre d'exemple de problème, j'ai choisi deux qubits avec une interaction d'échange pour vérifier ce qui est une version minimale de ce que j'envisage. Pour commencer, l'équation principale est donnée par

\dot{ρ} = Λ (ρ) .

$\dot\rho = \Lambda(\rho).$

$\sigma_i = \mathbf{1},\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ $1/2$ $G_i$ $G_5 = G_{xx} = (\sigma_x\otimes\sigma_x)/2$

$L$

L_{n, m} = T r [G_{n} Λ (G_{m})] .

$L_{n,m} = \mathrm{Tr}[G_n\Lambda(G_m)].$

Si nous traitons l'équation principale comme une matrice agissant sur un opérateur de densité vectorisé comme discuté dans la question, alors cela peut être exprimé comme

L_{n, m} = v e c (G_{n})^{†} Λ v e c (G_{m}),

$L_{n,m} = \mathrm{vec}(G_n)^\dagger\,\Lambda\,\mathrm{vec}(G_m),$

ce qui permet à L d'être dérivé dans une seule équation matricielle, mais cela devient un peu hors sujet.

$L$ $F$ $\phi$

F (t) = \exp (L t) .

$F(t) = \exp(Lt).$

$F$ $S$

S_{a, b} = \sum_{n, m} F_{m, n} T r [G_{n} G_{a} G_{s} G_{b}] .

$S_{a,b} = \sum_{n,m}F_{m,n}\mathrm{Tr}[G_nG_aG_sG_b].$

Enfin, la partie merveilleuse.

ρ_{t} = ϕ_{n, m} (ρ_{0}, t) = S_{n, m} (t) G_{n} ρ_{0} G_{m}^{†}

$\rho_t=\phi_{n,m}(\rho_0,t) = S_{n,m}(t)G_n\rho_0 G_m^\dagger$

$S$ $\Lambda$ $\phi(t)=\exp(\Lambda t)$

Cela fonctionne dans le cas indépendant du temps pour les quits et les qutrits comme prévu. Je dois vérifier que cela fonctionne en cas de dépendance temporelle.

— qubyte
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