Variantes des théorèmes du produit direct

Un théorème de produit direct, de manière informelle, dit que calculer instances d'une fonction est plus difficile que calculer une fois.f $k$$f$$f$

Les théorèmes typiques du produit direct (par exemple, le lemme XOR de Yao) examinent la complexité du cas moyen et soutiennent (très grossièrement) que ne peut pas être calculé par des circuits de taille avec une probabilité meilleure que , alors copies de ne peuvent pas être calculées par circuits de taille avec une probabilité meilleure que .s p k f s ′ < s p $f$$s$$p$$k$$f$$s' < s$$p^k$

Je recherche différents types de théorèmes de produits directs (s'ils sont connus). Plus précisément:

(1) Disons que nous fixons la probabilité d'erreur et sommes plutôt intéressés par la taille du circuit nécessaire pour calculer copies de ? Y a-t-il un résultat qui dit que si ne peut pas être calculé par des circuits de taille avec une probabilité meilleure que , alors copies de ne peuvent pas être calculées avec une probabilité meilleure que utilisant un circuit de taille inférieure à ?k f f s p k f p O ( k ⋅ s $p$$k$$f$$f$$s$$p$$k$$f$$p$$O(k \cdot s)$

(2) Que sait -on de la complexité du pire des cas ? Par exemple, si ne peut pas être calculé (avec 0 erreur) par des circuits de taille , que pouvons-nous dire de la complexité du calcul de copies de (avec 0 erreur)?s k $f$$s$$k$$f$

Toutes les références seraient appréciées.

(1): Cette question a été étudiée dans l'article "Vers la démonstration de forts théorèmes de produits directs" par Ronen Shaltiel, et il s'avère qu'une telle conjecture est fausse: par exemple, il se pourrait que puisse être calculé avec une probabilité de avec une taille beaucoup plus petite que , et seule la masse de probabilité supplémentaire de nécessite une taille . Dans ce cas, lors du calcul de sur instances, le circuit pourrait résoudre sur la plupart des instances de taille bien inférieure à , et n'aura besoin de la taille que sur quelques-unes des instances.0,99 ∗ p s 0,01 ∗ p s f k f s $f$$0.99 * p$$s$$0.01 * p$$s$$f$$k$$f$$s$$s$

(2): Un théorème de produit direct pour la complexité du pire des cas est connu pour les formules et pour les circuits monotones, mais est en fait connu pour être faux pour les circuits généraux. Pour un exemple simple, considérons une fonction qui voit son entrée comme un vecteur et la multiplie par une matrice booléenne fixe . Ensuite, le calcul de la fonction peut nécessiter une taille , mais le calcul sur instances peut être fait beaucoup plus rapidement que utilisant un algorithme de multiplication matricielle. Vous pouvez trouver une discussion approfondie de ce sujet dans le livre "La complexité des fonctions booléennes" par Ingo Wegener - voir le chapitre 10.2 ici: n × n f n 2 n n $f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^n$$n \times n$$f$$n^2$$n$$n^3$http://eccc.hpi-web.de/static/books/The_Complexity_of_Boolean_Functions/ .

Pour compléter la réponse d'Or, des questions sur la saveur de (1) [la quantité de ressource nécessaire pour bien faire sur k copies] ont été étudiées, et les théorèmes correspondants sont appelés "théorèmes à somme directe". Comme pour les théorèmes de produit direct, les théorèmes de somme directe peuvent ou non être vérifiés, selon la configuration.