Complexité de décider si une matrice est totalement régulière

Une matrice est dite totalement régulière si toutes ses sous-matrices carrées ont un rang complet. De telles matrices ont été utilisées pour construire des superconcentrateurs. Quelle est la complexité de décider si une matrice donnée est totalement régulière sur les logiques? Sur des champs finis?

Plus généralement, appelons une matrice totalement régulière si toutes ses sous-matrices carrées de taille au plus ont un rang complet. Étant donné une matrice et un paramètre , quelle est la complexité de décider si la matrice est totalement régulière? $k$ $k$ $k$ $k$

— Markus Bläser
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Une question élémentaire: que voulez-vous dire lorsque vous dites matrice régulière? Merci!

— Henry Yuen

voulez-vous dire que chaque sous-matrice est non singulière? je me souviens qu'il y avait une question similaire que je ne peux pas trouver en ce moment

— Sasho Nikolov

En effet, il y a trois sens différents de régulier: en.wikipedia.org/wiki/Regular_matrix

— Suresh Venkat

ah, a trouvé la question connexe: cstheory.stackexchange.com/questions/10962/… . votre question correspond mieux au commentaire que j'ai fait là-bas: il s'agit d'une variante plus facile de la question (AFAIK grand ouvert) de tester le groupe d'isométrie restreinte.

— Sasho Nikolov

Sur des champs finis, tester si une matrice est régulière équivaut à vérifier si une matrice de générateur de code a une distance minimale (c'est-à-dire s'il s'agit de MDS). Même les approximations de facteurs constants pour trouver la distance minimale du code sont difficiles. Consultez cet article ee.ucr.edu/~dumer/ieee49-1-03-np.pdf et les références à l'intérieur.

n \times k

$n\times k$

k

$k$

n \times k

$n\times k$

n - k + 1

$n-k+1$

— Dimitris

Réponses:

L'article Vandermonde Matrices, NP-Completeness, and Transversal Subspaces [ps] d'Alexander Chistov, Hervé Fournier, Leonid Gurvits et Pascal Koiran peut être pertinent pour votre question (bien qu'il n'y réponde pas).

Ils prouvent la du problème suivant: Étant donné une matrice sur ( ), décidez s'il existe une sous-matrice dont le déterminant disparaît. $\mathsf{NP}$ $n\times m$ $\mathbb Z$ $n\le m$ $n\times n$

— Bruno
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Merci, Bruno! Ne pouvons-nous pas réduire le problème de votre réponse à mon problème par une réduction aléatoire (sur les logiques)? Ajoutez simplement

lignes aléatoires. Si la nouvelle matrice n'est pas totalement régulière, elle contient alors une sous-matrice

singulière dans les

premières lignes avec une probabilité élevée. Ah non. La sous-matrice pourrait être plus petite. Mais peut-être qu'on peut faire en sorte que cela fonctionne ...

m - n

$m-n$

n \times n

$n \times n$

n

$n$

— Markus Bläser

Oui, votre problème est essentiellement équivalent à celui (Position générale) dans l'Alexander Chistov, Hervé Fournier, Leonid Gurvits et Pascal Koiran papier .

Considérons une matrice , . Sans perte de généralité, supposons que le et les premières colonnes de sont indépendants: , où est une matrice non singulière . Maintenant, contient une sous-matrice singulière si et seulement si $n \times m$ $A$ $n < m$ $\text{rank}(A) = n$ $n$ $A$ $A =[B\ |\ D]$ $B$ $n \times n$ $A$ $n \times n$ $B^{-1}D$ n'est pas totalement régulier.

— leonid gurvits
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Il existe un autre problème NP-Complete dans le même esprit: pour une matrice carrée, décider si toutes ses sous-matrices principales (c'est-à-dire les lignes et colonnes du même ensemble) sont non singulières. Autre fait curieux: la somme des carrés des déterminants de toutes les sous-matrices carrées est facile (juste Det (I + AA ^ {T})), mais la somme des valeurs absolues est # P-Complete.

— leonid gurvits
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