NTIME (n ^ k) ≠ DTIME (n ^ k)?

Dans "Déterminisme versus non déterminisme et problèmes connexes" (Proc. IEEE FOCS, pages 429 à 438, 1983), Paul, Pippenger, Szemerédi et Trotter ont prouvé que .
$\mathsf{NTIME}(n)\neq\mathsf{DTIME}(n)$

Ceci répond à ma question avec k = 1. Est-il connu quelque chose sur un résultat similaire pour un autre k fixe?

Aucune limite inférieure inconditionnelle n'est connue pour les du modèle multitape TM (ni pour les modèles plus puissants que celui-ci).$k \geq 2$

Ravi Kannan a étudié ce problème dans "Vers la séparation du déterminisme du déterminisme" (1984) . En essayant de montrer il a réussi à prouver ce qui suit: il existe une constante universelle telle que pour tout , . Ici, TIME-SPACE (n ^ k, n ^ {k / c}) est la classe de langages reconnus par les machines utilisant simultanément le temps n ^ k et l'espace n ^ {k / c} . Il est clair que TIME-SPACE (n ^ k, n ^ {k / c}) \ subseteq TIME (n ^ k), mais on ne sait pas s'ils sont égaux.$NTIME(n^k) \neq TIME(n^k)$$c \geq 1$$k$$NTIME(n^k) \not \subseteq TIME-SPACE(n^k,n^{k/c})$$TIME-SPACE(n^k, n^{k/c})$$n^k$$n^{k/c}$$TIME-SPACE(n^k,n^{k/c}) \subseteq TIME(n^k)$

Si vous supposez pour certains $k \geq 2$ que $NTIME(n^k) = TIME(n^k)$ , vous obtenez des conséquences intéressantes. $P=NP$ est évident, mais cela implique également que ${\sf NL} \neq {\sf P}$ . Cela peut être prouvé en utilisant un argument de "négociation en alternance". Fondamentalement, pour chaque $k$ et chaque langue $L \in {\sf NL}$ , il existe une constante $c$ et une machine alternée qui reconnaît $L$ et fait $c$ alternances, devine $O(n)$ bits par alternance, puis passe en mode déterministe et s'exécute dans $n^k$ temps. (Cela découle, par exemple, de jouer avec les constructions deFortnow, "Les compromis temps-espace pour la satisfiabilité" (1997) .) Maintenant, si $TIME(n^k) = NTIME(n^k)$ toutes ces $c$ alternances peuvent être supprimées avec seulement une petite quantité de temps système, et vous vous retrouvez avec un $TIME(n^k)$ calcul qui reconnaît $L$ . D'où ${\sf NL }\subseteq TIME(n^k) \neq {\sf P}$ . Il n’existe probablement aucune simulation de ce type, mais si vous pouvez l’exclure, vous aurez la limite inférieure que vous recherchez. (Note: Je crois que l'argument ci-dessus est aussi dans le papier de Kannan.)

bien que ce ne soit pas exactement ce que vous demandez, rj lipton commente dans son blog la difficulté fondamentale des résultats dans ce domaine et que l'approche typique du "remplissage" ne s'applique pas [1] et souligne que le résultat du PPST que vous citez a récemment légèrement prolongé (par un facteur logarithmique) de Santhanam [2], à savoir

[1] http://rjlipton.wordpress.com/2011/01/19/we-believe-a-lot-but-can-prove-little/

[2] http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.22.2392