Complexité informatique du comptage des sous-graphes induits qui admettent des correspondances parfaites

Étant donné un graphe non orienté et non pondéré et un entier pair , quelle est la complexité de calcul des ensembles de sommets tels que et le sous-graphe de restreint à l'ensemble des sommets admet une correspondance parfaite? La complexité # P-complète? Y a-t-il une référence pour ce problème? $G=(V,E)$ $k$ $S\subseteq V$ $|S|=k$ $G$ $S$

Notez que le problème est bien sûr facile pour une constante car alors tous les sous-graphes de taille peuvent être énumérés dans le temps . Notez également que le problème est différent du comptage du nombre de correspondances parfaites. La raison en est qu'un ensemble de sommets qui admet une correspondance parfaite peut avoir plusieurs nombres de correspondances parfaites. $k$ $k$ ${|V| \choose k}$

Une autre façon d'énoncer le problème est la suivante. Une correspondance est appelée $k$ correspondance si elle correspond à $k$ sommets. Deux correspondances $M$ et $M'$ sont `` vertex-set-non-invariant' 'si les ensembles de sommets correspondants par $M$ et $M'$ ne sont pas identiques. Nous voulons compter le nombre total de correspondances non invariantes par ensemble de $k$ sommets.

cc.complexity-theory co.combinatorics counting-complexity

— Ha
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Lorsque

k = \log n

$k=\log n$ , le nombre de ces sous-ensembles est

(\binom{| V |}{\log n}) \leq n^{\log n}

$\binom{|V|}{\log n}\leq n^{\log n}$ , et vérifier si le graphe induit par le sous-ensemble a une correspondance parfaite en utilisant Tutte la caractérisation prend

O (2^{\log n}) = O (n)

$O(2^{\log n})=O(n)$ , il est donc peu probable qu'il soit même NP-complet à moins que l'hypothèse de temps exponentiel ne soit fausse. Par conséquent, le cas intéressant est lorsque

k = θ (\frac{n}{\log n})

$k=\theta(\frac{n}{\log n})$ , auquel cas l'approche naïve prend

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$ temps, si vous recherchez l'exhaustivité #P.

— Sajin Koroth

@Sajin Koroth: Je ne suis pas la dernière phrase de votre commentaire. Par exemple, si k = √n, l'approche naïve prend fois, et je ne pense pas que cela prouve que ce soit # P-complet.

2^{n^{Ω (1)}}

$2^{n^{\Omega(1)}}$

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto: Oui, vous avez raison. Il aurait fallu "choisir un tel que, l'approche naïve prend du temps ".

k

$k$

O (2^{n})

$O(2^n)$

— Sajin Koroth

@Sajin Koroth: Pourquoi devrait-on choisir une valeur de k telle que l'approche naïve prenne du temps ? Cela ne fait probablement pas de mal, mais je ne vois pas pourquoi on devrait le faire.

O (2^{n})

$O(2^n)$

— Tsuyoshi Ito

Il semble que la plupart des problèmes du type "comment les sous-graphes de taille k induits par l'homme ont la propriété X?" sont durs. Même la propriété "a un bord" est difficile ("A un bord" résout "n'a pas de bord" qui est "est un graphique complet" dans le duel ... résout MAX CLIQUE). Cela donne vraiment l'impression que "a une correspondance parfaite" sera également difficile, mais trouver une preuve est difficile en ce moment.

— bbejot

Réponses:

Le problème est # P-complet. Il découle du dernier paragraphe de la page 2 du document suivant:

CJ Colbourn, JS Provan et D. Vertigan, The complex of computing the Tutte polynomial on transversal matroids, Combinatorica 15 (1995), no. 1, 1–10.

http://www.springerlink.com/content/wk55t6873054232q/

— Ha
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Le problème admet un FPTRAS. Il s'agit d'un algorithme randomisé qui obtient en entrée un graphe , un paramètre et des nombres rationnels et . Si est le nombre de ensembles de vertex que vous recherchez, alors génère un nombre tel que $\mathbb{A}$ $G$ $k\in \mathbb{N}$ $\epsilon >0$ $\delta \in (0,1)$ $z$ $k$ $\mathbb{A}$ $z'$ et il le fait dans le temps , où est une fonction calculable et est un polynôme.

P (z^{'} \in [(1 - ϵ) z, (1 + ϵ) z]) \geq 1 - δ,

$\begin{equation} \mathbb{P}(z' \in [(1-\epsilon)z,(1+\epsilon)z]) \geq 1-\delta, \end{equation}$

f (k) \cdot g (n, ϵ^{- 1}, \log δ^{- 1})

$f(k)\cdot g(n,\epsilon^{-1},\log \delta^{-1})$

f

$f$

g

$g$

Cela découle de Thm. 3.1 in (Jerrum, Meeks 13) : Étant donné une propriété des graphiques, il existe un FPTRAS, avec la même entrée que ci-dessus, qui se rapproche de la taille de l'ensemble condition que soit calculable, monotone, et que tous ses graphes à bord minimal aient une largeur d'arbre bornée. Les trois conditions sont réunies si est la propriété du graphique d'admettre une correspondance parfaite. $\Phi$

{S \subseteq V (g) ∣ | S | = k \land Φ (g [S])},

$\begin{equation} \{S \subseteq V(G) \mid |S| =k \wedge \Phi(G[S])\}, \end{equation}$

Φ

$\Phi$

Φ

$\Phi$

— Radu Curticapean
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