Des travaux ont-ils été effectués sur la façon dont la complexité des instances aléatoires de # 2-SAT varie avec la densité de la clause? C'est-à-dire: comment la difficulté de compter des solutions satisfaisantes pour une instance générée aléatoirement de 2-SAT varie-t-elle, comme la densité de clause varie? En particulier, existe-t-il des résultats rigoureux connus impliquant des seuils critiques?
Bien sûr, parce que 2-SAT ∈ P , la complexité de comptage typique dépend en partie de la probabilité avec laquelle une instance est satisfiable; les instances dont la densité de clause est supérieure au seuil critique pour SAT / UNSAT auront généralement une complexité de comptage facile, car la réponse est " zéro " presque sûrement, dans la limite n . Cependant, la complexité de comptage peut toujours être facile pour les instances de 2-SAT ayant une densité proche ou juste au-dessus du seuil critique pour n fini : on pourrait s'attendre à ce qu'une instance satisfaisable n'ait qu'un petit nombre de solutions, ce qui pourrait être facile à énumérer en raison de l'étroitesse des contraintes.
Pour k -SAT avec k ≥ 3, la difficulté de déterminer si une instance est satisfaisable ou insatisfiable semble être la plus élevée près des seuils critiques séparant la phase SAT de la phase UNSAT, en partie lorsque l'on essaie de déterminer s'il existe au moins un solution satisfaisante. Pour # 2-SAT , la difficulté ne peut résider dans la détermination de l'existence d'au moins une solution; donc il faut attendre à ce que la difficulté est susceptible d'être dans la détermination du nombre de solutions pour les formules satisfaisables d'une importante mais pas grand nombre de contraintes - c'est-à-dire où il y a suffisamment de contraintes pour induire des dépendances non triviales entre les variables, mais pas assez pour surdéterminer les affectations possibles.