Les problèmes de coloration des graphiques sont déjà assez difficiles pour la plupart des gens . Malgré cela, je vais devoir être difficile et poser un problème sur la coloration hypergraphique.
Question.
Quels sont les algorithmes efficaces pour trouver une coloration des bords approximativement optimale pour les hypergraphes à k uniforme?
Détails ---
Un hypergraphe k uniforme est celui dans lequel chaque arête contient précisément k sommets; le cas habituel d'un graphe simple est k = 2. Plus précisément, je m'intéresse aux hypergraphes k-uniformes étiquetés , dans lesquels deux arêtes peuvent en fait avoir le même ensemble de sommets; mais je vais me contenter de quelque chose sur les hypergraphes k-réguliers avec des arêtes se coupant à pas plus de k − 1 sommets.
Une coloration des bords des hypergraphes est une coloration dans laquelle les bords de la même couleur ne se croisent pas, comme dans le cas des graphiques. L'indice chromatique χ '(H) est le nombre minimum de couleurs requises, comme d'habitude.
Je voudrais des résultats sur des algorithmes de temps polynomiaux déterministes ou randomisés.
Je recherche le meilleur facteur d'approximation / écart additif connu entre ce qui peut être trouvé efficacement et l'indice chromatique réel χ '(H) --- ou d'ailleurs, le meilleur résultat atteignable efficacement en termes de paramètres tels que le degré de sommet maximal Δ (H), la taille de l'hypergraphe, etc.
Edit: invité par les remarques de Suresh sur les duels hypergraphiques ci-dessous, je dois noter que ce problème est équivalent au problème de trouver une coloration de sommet forte d'un hypergraphe k-régulier : c'est-à-dire, où chaque sommet appartient à k arêtes distinctes [mais les arêtes peut maintenant contenir des nombres de sommets différents], et nous voulons une coloration de sommet telle que deux sommets adjacents aient des couleurs différentes. Cette reformulation ne semble pas non plus avoir de solution évidente.
Remarques
Dans le cas des graphes, le théorème de Vizing garantit non seulement que le nombre chromatique de front pour un graphe G est soit Δ (G) soit Δ (G) +1, les preuves standard de celui-ci fournissent également un algorithme efficace pour trouver un Δ (G ) + 1 coloris sur les bords. Ce résultat serait assez bon pour moi si j'étais intéressé par le cas k = 2; cependant, je suis spécifiquement intéressé par k> 2 arbitraire.
Il ne semble pas y avoir de résultats bien connus sur les limites de la coloration hypergraphique des bords, sauf si vous ajoutez des restrictions telles que chaque arête se croisant dans au plus t sommets. Mais je n'ai pas besoin de bornes sur χ '(H) lui-même; juste un algorithme qui trouvera une coloration des bords "assez bonne". [Je ne veux pas non plus imposer de restrictions sur mes hypergraphes, sauf pour être k uniforme, et peut-être des limites sur le sommet maximal, par exemple Δ (H) ≤ f (k) pour certains f ∈ ω (1) .]
[ Addendum. J'ai maintenant posé une question connexe sur MathOverlow sur les limites du nombre chromatique, constructif ou non.]