Existe-t-il des applications des techniques d'analyse réelle à l'informatique théorique?


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J'ai cherché loin pour de telles applications et je me suis surtout retrouvé court. Je peux trouver de nombreuses applications de la topologie et des structures similaires sur des ensembles dénombrables (ou non dénombrables), mais je trouve rarement des ensembles indénombrables comme objet d'étude par des informaticiens, et donc conduisant à la nécessité de techniques d'analyse.


D'après ce que disent mes amis, une véritable analyse est nécessaire en théorie de l'information. Cependant, si vous omettez les bases, cela ne semble pas être populaire dans tcs (du moins pour moi).
singhsumit

La théorie de l'information me suffit! Si vous pouvez retirer un exemple spécifique, je marquerai votre réponse comme la réponse ..
robinhoode

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Il y a aussi le traitement du signal, les graphiques et tout le reste. Quel type de techniques recherchez-vous?
Shir

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Un exemple ( ne sais pas si c'est ce que vous cherchez) de la théorie de l'information: I ( X ; Y ) 0I(X;Y)0 , c'est-à-dire l'information mutuelle de deux variables aléatoires X,Y est non négative. Cela découle directement de la concavité de la fonction log et de l'inégalité de Jensen. (voir Elements of Information Theory, par Cover et Thomas, page 28)
Shir

Êtes-vous également intéressé par les applications d'analyse complexe?
Raphael

Réponses:



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Voir le livre Concrete Mathematics - A Foundation for Computer Science de Graham, Knuth et Patashnik. Au chapitre 9, ils expliquent la formule de sommation d'Euler-Maclaurin . Il s'agit d'une technique qui vous permet d'approximer une somme finie en utilisant des intégrales. Dans le même chapitre, page 466, ils utilisent cette technique pour approximer le nombre harmonique (qui apparaît beaucoup dans plusieurs domaines du TCS). Cela m'est arrivé une fois où je devais l'utiliser et j'ai fini par résoudre une intégrale en utilisant des techniques d'approximation asymptotique pour les équations différentielles!


De bons liens, mais n'est-ce pas une analyse plus numérique?
Huck Bennett

c'est complètement analytique.
Marcos Villagra

9

Il y a la théorie des limites des séquences de graphes denses, développée dans les travaux de Lovasz et B. Szegedy. Cela a des implications pour certains problèmes de test de propriétés sur les graphiques. Voir http://www.cs.elte.hu/~lovasz/hom-stoc.pdf . Fondamentalement, l'idée est qu'ils définissent une métrique appropriée sur les graphiques et une notion de prise de limites des séquences de graphiques, puis ils montrent qu'une propriété de graphique est testable si la fonction qui mappe un graphique à la distance d'édition de la propriété est continue dans le espace métrique sur les graphiques qui a été défini.

Et puis il y a bien sûr Flajolet et Sedgewick magnum opus de entièrement dédié à l'utilisation de méthodes analytiques pour l'analyse asymptotique des structures combinatoires, y compris l'analyse des algorithmes. Cela génère principalement des astuces de fonction reposant sur une analyse complexe


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Il convient de mentionner que la théorie des limites des graphes et, plus largement, l'analyse des graphes est un sujet très brûlant, voir par exemple math.ias.edu/cga
Marcin Kotowski

joli pointeur @MarcinKotowski. c'est agréable d'avoir laci lovasz dans la région :)
Sasho Nikolov

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Comme Shir l'a mentionné, l'inégalité de Jensen apparaît tout le temps. Surtout pour prouver les limites des problèmes combinatoires. Par exemple, considérez le problème suivant:

Étant donné une famille de de sous-ensembles de V = { 1 , , n } , son graphe d' intersection G = ( V , E ) est défini par { i , j } E si et seulement si S iS j . Supposons que la taille moyenne définie estS1,,SnV={1,,n}G=(V,E){i,j}ESiSj et que la taille moyenne des intersections par paires soit au plus k. Montre CAr .|E|nk(r2)

Preuve:

Comptons les paires telles que x V et x S iS j . Fixons d'abord ( S i , S j ) , nous voyons qu'il y a au plus k tels choix. En prenant également toutes les valeurs de ( S i , S j ) , nous avons une borne supérieure de k ( n(x,(Si,Sj))xVxSiSj(Si,Sj)k(Si,Sj). Nous corrigeons maintenant x. Il est facile de voir que chaquexa ( d(x)k(n2)=k|E|x façons de choisir(Si,Sj)(d(x)2)(Si,Sj) . Par l'inégalité de Jensen, nous avons:

n(r2)=n(1nxd(x)2)x(d(x)2)k|E|.

Nous combinons enfin les termes pour avoir .nk(r2)|E|

Bien que ce soit un peu plus "mathématique" que CS, cela sert à montrer comment un outil pour les fonctions convexes peut être utilisé - en optimisation combinatoire, en particulier.


note l'inégalité jensens semble être fortement liée au lemme de tournesol erd "os [la version discrète vue dans les limites inférieures du circuit] bien que je ne pense pas que j'aie vu cela prouvé nulle part.
vzn

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que diriez-vous du calcul efficace avec Dedekind Reals par Andrej Bauer et Paul Taylor.


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J'aime beaucoup lire sur le travail dans ce domaine - le calcul exact des nombres réels offre une perspective intéressante sur ce que sont les ensembles innombrables, ainsi que certains algorithmes époustouflants.
Neel Krishnaswami

... par Andrej Bauer et Paul Taylor , s'il vous plaît.
Andrej Bauer

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Oh hé, je peux éditer le post. Fixé.
Andrej Bauer

stand corrigé. a utilisé l'auteur figurant sur le papier. vous devriez peut-être le mettre comme co-auteur du journal
vzn

1
Cela dépend si la théorie dans laquelle vous essayez de le prouver est classique ou constructive. De manière constructive, vous utilisez simplement l'argument de diagonalisation standard pour montrer qu'ils sont indénombrables. Puisque les nombres réels doivent être réalisés par des processus calculables, à partir d'un POV classique, la preuve constructive nous dit que le problème d'arrêt est indécidable. Cela fait partie de ce que je voulais dire quand j'ai dit qu'il offre des perspectives intéressantes sur ce que sont les innombrables ensembles ..!
Neel Krishnaswami

3

Une technique très courante et souvent utile pour aborder un problème en mathématiques discrètes consiste à l'intégrer dans un domaine continu, car cela permet d'utiliser un choix plus riche d'outils mathématiques. Donc, corrigeant ma réponse: à part les champs dans lesquels une véritable analyse apparaîtra naturellement (graphiques, traitement du signal et autres champs qui imitent ou interagissent avec le monde physique), elle apparaît essentiellement partout, et dans des endroits où elle n'avait pas - mon je suppose que ce sera le cas à l'avenir.

Quelques exemples rapides:

  1. Codes d'erreur de correction: les codes Reed Solomon utilisent des polynômes. Certaines limites des codes impliquent de visualiser la fonction d'indicateur du code comme une fonction du cube discret aux réels, appliquant ainsi la transformée de Fourier et d'autres techniques.
  2. La méthode probabiliste - mesurer les théorèmes de concentration (un outil analytique) est utilisée pour montrer diverses propriétés des graphiques aléatoires (par exemple le nombre chromatique). Voir le livre d'Alon et Spencer.
  3. Le théorème d'intersection (c'est plus lié à la combinatoire, mais de toute façon) - un graphe avec sommets et arêtes e a au moins 1ve intersections. La preuve consiste à prendre un graphe aléatoire et à optimiser les paramètres via la dérivation.161e3v2

  4. k1kk1


Des exemples concrets, s'il vous plaît?
Marcin Kotowski

J'ai ajouté 4 exemples, même si je pense qu'il y en a tellement, on peut vraiment y aller toute la journée.
Shir


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Le domaine de la mesure liée aux ressources applique la mesure de Lebesgue aux classes de complexité. L'idée est d'obtenir des séparations entre les classes de complexité en parlant des «tailles» relatives de ces ensembles.




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J'ai toujours trouvé les connexions entre les langages réguliers / sans contexte et la théorie des fonctions (séries de pouvoirs (formelles)) assez excitantes: c'est pourquoi les Français appellent ces classes de langues "rationnelles" et "algébriques". Cela indique également des liens avec la géométrie fractale. Dans la même veine, par exemple, les automates finis peuvent définir des langues sur des mots infinis qui ont de belles propriétés topologiques lorsqu'ils sont équipés de la topologie métrique standard.

Une autre connexion pourrait être la théorie récemment développée des «convolutions d'ensemble» qui permet d'accélérer plusieurs algorithmes similaires à ce qui est connu des transformées de Fourier. Je suppose que ce sont au moins des "similitudes inspirantes".

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