Réduction de l'espace des journaux de la parité L aux circuits CNOT?

Question.

Dans leur article Improved simulation of stabilizer circuits , Aaronson et Gottesman affirment que la simulation d'un circuit CNOT est ⊕L - complete (sous les réductions de l'espace de log). Il est clair qu'il est contenu dans ⊕L ; comment le résultat de dureté tient-il?

De manière équivalente: existe-t-il une réduction de l'espace logarithmique des produits matriciels itérés modulo 2, aux produits itérés des matrices élémentaires (les matrices inversibles qui réalisent les transformations de lignes) mod 2?

Détails

Une opération contrôlée NON (ou CNOT ) est une opération booléenne réversible, de la forme où seul lej^èmebit est modifié, et ce bit est modifié en ajoutant modulo 2, pour toute position distinctehetj. Ce n'est pas difficile à voir, si nous interprétons

{C N O T}_{h, j} (x_{1}, \dots, x_{h}, \dots, x_{j}, \dots, x_{n}) = (x_{1}, \dots, x_{h}, \dots, x_{j} \oplus x_{h}, \dots, x_{n})

$\mathsf{CNOT}_{\!h,j} (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j\,, \;\ldots\;, x_n) \;\;=\;\; (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j \oplus x_h\,, \;\ldots\;, x_n)$

x_{h}

$x_h$

comme vecteur sur ℤ / 2ℤ, que cela correspond à une transformation de ligne élémentaire modulo 2, que nous pouvons représenter par une matrice avec 1s sur la diagonale et une seule position hors diagonale. Uncircuit CNOTest alors un produit matriciel constitué d'un produit de quelques matrices élémentaires de ce type.

x = (x_{1}, \dots, x_{n})

$\mathbf x = (x_1\,, \;\ldots\;, x_n)$

L'article d'Aaronson et Gottesman mentionné ci-dessus (qui, fortuitement à cette question, concerne une classe de circuits quantiques qui peuvent être simulés en ⊕L ) contient une section sur la complexité de calcul. Vers le début de cette section, ils décrivent ⊕L comme suit:

⊕L [est] la classe de tous les problèmes qui peuvent être résolus par une machine de Turing à espace logarithmique non déterministe, qui accepte si et seulement si le nombre total de chemins d'acceptation est impair. Mais il existe une autre définition qui est probablement plus intuitive pour les non-informaticiens. C'est que ⊕L est la classe de problèmes qui se réduit à simuler un circuit CNOT de taille polynomiale, c'est -à- dire un circuit composé entièrement de portes NOT et CNOT, agissant sur l'état initial | 0 ... 0⟩. (Il est facile de montrer que les deux définitions sont équivalentes, mais cela nous obligerait tout d'abord à expliquer ce que signifie la définition habituelle!)

Le public cible de l'article comprenait un nombre substantiel de non-informaticiens, de sorte que le désir de fuir n'est pas déraisonnable; J'espère que quelqu'un pourra clarifier comment cette équivalence se maintient.

De toute évidence, la simulation d'un produit de telles matrices peut être effectuée dans ⊕L comme un cas particulier d'évaluation des coefficients des produits matriciels itérés (mod 2), ce qui est un problème complet (sous les réductions de l' espace de log ) pour ⊕L . De plus, comme les matrices CNOT effectuent simplement des opérations de lignes élémentaires, toute matrice inversible peut être décomposée en tant que produit de matrices CNOT. Cependant: je ne sais pas comment décomposer même une matrice inversible mod 2 en un produit de matrices CNOT par une réduction de l'espace logarithmique . (En effet, comme le note Emil Jeřábek dans les commentaires, l'élimination gaussienne suffit pour calculer les déterminants mod 2, qui est un problème ⊕L - complet : donc une attaque directe par décomposition par exemple les matrices inversibles en tant que produits de matrices élémentaires ne semblent pas réalisables dans l'espace logarithmique à moins que L = ⊕L .) Sans parler des produits matriciels qui ne sont pas inversibles. Une réduction plus intelligente semble donc nécessaire.

J'espère que quelqu'un pourra fournir un croquis de cette réduction, ou une référence ( par exemple un texte pour lequel il s'agit d'un exercice, si c'est simple).

— Niel de Beaudrap
source

Je suppose que le calcul des déterminants mod

est également ⊕L-complet, d'où l'élimination gaussienne mod

est ⊕L-difficile.

2

$2$

2

$2$

— Emil Jeřábek soutient Monica le

@ EmilJeřábek: Je pense à votre remarque, et j'essaie de voir si cela implique immédiatement que la simulation des circuits CNOT n'est pas complète pour ⊕L à moins que L = ⊕L . (Considérez un produit d'une matrice, ou un produit d'une matrice unique avec la matrice d'identité!) Cela semble presque trop facile; est-ce que je manque quelque chose? Je suppose que cela n'exclut peut-être que les réductions de plusieurs pour un.

— Niel de Beaudrap

Je ne pense pas que ce soit aussi simple. ⊕L est une classe de problèmes de décision, tandis que la multiplication matricielle sur F_2 est un problème de fonction. La version ⊕L de la multiplication matricielle consiste à demander un bit particulier du résultat (disons, l'entrée en haut à gauche de la matrice). Peut-il y avoir un algorithme de logspace qui prend une séquence de matrices et produit une séquence de matrices élémentaires pour que les produits des deux séquences aient le même élément en haut à gauche? C'est beaucoup plus faible que la véritable élimination gaussienne. En fait, la revendication d'Aaronson et de Gottesman me semble plausible, bien que je ne sache pas comment le prouver.

— Emil Jeřábek soutient Monica le

@ EmilJeřábek: Je pense à la façon dont la plupart des problèmes de décision ⊕L sont basés sur la vérification des coefficients individuels de problèmes qui sont naturels pour le DET (il est courant de parler de problèmes de fonction comme étant ⊕L-complétés , mais un abus de terminologie qui est); et que mon intuition pour les produits matriciels est qu'il est suffisamment compliqué pour qu'il soit difficile d'arranger de manière ad hoc, pour un seul coefficient, que deux produits matriciels soient égaux pour ce coefficient de telle manière que vous ne puissiez pas être assez certain que tous les autres coefficients seront également d'accord.

— Niel de Beaudrap

Je l'ai compris: compter les chemins d'acceptation d'une machine à espace journal équivaut à compter les chemins dans un graphique acyclique , qui peut être représenté par la multiplication des matrices triangulaires supérieures avec 1 sur la diagonale. Ces dernières peuvent s'exprimer facilement comme un produit de matrices élémentaires de manière explicite, sans élimination gaussienne.

— Emil Jeřábek soutient Monica le

Commençons par le problème -complet de compter mod le nombre de chemins de longueur du sommet au sommet dans un graphe orienté . Nous appliquons quelques réductions d'espace de journalisation comme suit. $\oplus L$ $2$ $n$ $s$ $t$ $G=(V,E)$

Soit le graphe tel que et $G'=(V',E')$ $V'=V\times\{0,\dots,n\}$ (c'est-à-dire que nous prenons copies dessommetsde , faisons passer les bords de la ème copie à la ème copie selonles bords de , et ajouter toutes les boucles automatiques). Alors le problème d'origine équivaut à compter les chemins de longueur de à $E'=\{((u,i),(v,i+1):i<n,(u,v)\in E\}\cup\{(w,w):w\in V'\}$ $n+1$ $G$ $i$ $(i+1)$ $G$ $n$ $s'=(s,0)$ $t'=(t,n)$ en . $G'$

De plus, est acyclique, et nous pouvons définir explicitement une énumération telle que toutes les arêtes de à part les auto-boucles passent de à pour certains . Sans perte de généralité, et . Soit la matrice d'adjacence de $G'$ $V'=\{w_k:k\le m\}$ $G'$ $w_k$ $w_l$ $k<l$ $w_0=s'$ $w_m=t'$ $M$ $G'$ par rapport à l'énumération donnée. Alors est une matrice entière triangulaire supérieure avec sur la diagonale, et le nombre de chemins de longueur de à est égal à l'élément supérieur droit de . $M$ $1$ $n$ $s'$ $t'$ $M^n$

Il est facile de voir que où est la matrice élémentaire dont la seule entrée non diagonale est in ligne et colonne . De cette façon, nous avons réduit le problème d'origine au calcul de l'élément supérieur droit d'un produit de matrices élémentaires. Dans le

M = \prod_{j = m}^{1} \prod_{i = 0}^{j - 1} E_{i, j} (M_{i, j}),

$M=\prod_{j=m}^1\prod_{i=0}^{j-1}E_{i,j}(M_{i,j}),$

E_{i, j} (a)

$E_{i,j}(a)$

a

$a$

i

$i$

j

$j$

\oplus L

$\oplus L$ cas, le calcul est modulo

, c'est-à-dire que l'on considère les matrices sur

. (Dans ce cas, les matrices élémentaires ne peuvent être que

, que nous pouvons ignorer, et

, qui peut être simulé par une seule porte CNOT, comme mentionné dans la question .) Si nous les considérons comme des matrices entières, nous obtenons un problème

-complet, et si nous les considérons modulo

, nous obtenons un problème

-complete.

2

$2$

F_{2}

$\mathbb F_2$

E_{i, j} (0) = I

$E_{i,j}(0)=I$

E_{i, j} (1)

$E_{i,j}(1)$

# L

$\#L$

k

$k$

{M o d}_{k} L

$\mathrm{Mod}_kL$

— Emil Jeřábek soutient Monica
source

Je veux dire, c'est

-complet pour les matrices élémentaires avec des coefficients entiers non négatifs . Avec des entiers arbitraires, il est DET-complet.

# L

$\#L$

— Emil Jeřábek soutient Monica le

Ce qui suit est probablement standard, mais je ne l'avais pas vu explicitement auparavant: montrer que trouver le nombre de chemins de longueur précisément n dans un digraphe (éventuellement cyclique) est ⊕L - complet , notez que cela revient à calculer les coefficients de certains puissance d'une matrice arbitraire sur

, qui est ⊕L -complète . Cette réponse est alors essentiellement une réduction de l'alimentation de la matrice (en utilisant une construction standard de M comme matrice de blocs constituée uniquement de copies de la matrice d'adjacence arbitraire de G dans les blocs supérieurs hors diagonale et 1 sur la diagonale) aux circuits CNOT . Bonne réponse!

F_{2}

$\mathbb F_2$

— Niel de Beaudrap

Vous n'avez pas besoin de passer par une alimentation matricielle, dont la complétude ⊕L est plus difficile à prouver. ⊕L est défini en comptant mod 2 les chemins d'acceptation d'une machine de Turing à espace journal non déterministe (avec horloge polynomiale, je présume, de sorte que le nombre est garanti d'être fini), ce qui équivaut à compter les chemins dans le graphe de configuration du machine (il est facile de faire en sorte que les chemins se terminent tous dans la même configuration et que les chemins aient la même longueur, en faisant passer la machine en boucle jusqu'à ce que son horloge expire, puis entre dans un état d'acceptation fixe).

— Emil Jeřábek soutient Monica le

Je suppose qu'en se concentrant sur les idées de l'article Stucture et importance des classes Logspace-MOD de Buntrock et al. , Je suis devenu beaucoup plus habitué à penser en termes de nombre de chemins de longueur arbitraire dans un digraphe acyclique , et aux problèmes de type DET tels que les produits matriciels et les puissances qui y sont naturellement liés.

— Niel de Beaudrap