Sur les variétés et les réseaux à

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EDIT (Par Tara B): Je serais toujours intéressé par une référence à une preuve de cela, car je devais le prouver moi-même pour mon propre papier.

Je cherche la preuve du Théorème 4 qui apparaît dans cet article:

Une hiérarchie infinie d'intersections de langues sans contexte par Liu et Weiner.

Théorème 4: Une variété affine à dimensions n'est pas exprimable comme une union finie de variétés affines dont chacune est de dimension ou moins. $n$ $n-1$

Quelqu'un connaît-il une référence à la preuve?
Si la variété est finie et que nous définissons un ordre naturel sur les éléments, y a-t-il une déclaration similaire en termes de réseaux?

Quelques informations pour comprendre le théorème:

Définition: Soit l'ensemble des nombres rationnels. Un sous - ensemble est un collecteur affine si lorsque , , et . $\mathbb{Q}$ $M\subseteq \mathbb{Q}^n$ $(\lambda x+(1-\lambda)y)\in M$ $x\in M$ $y\in M$ $\lambda\in\mathbb{Q}$

Définition: Une variété affine est dite parallèle à une variété affine si pour certains . $M'$ $M$ $M'=M+a$ $a\in \mathbb{Q}^n$

Théorème: manifold Chaque affine non vide est parallèle à un sous - espace unique de . Ce est donné par $M\subseteq \mathbb{Q}^n$ $K$ $K$ $K=\{x-y:x,y\in M\}$

Définition: La dimension d'une variété affine non vide est la dimension du sous-espace qui lui est parallèle.

— Marcos Villagra
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Je sais que c'est une question assez ancienne, mais je viens de la rencontrer aujourd'hui et je voulais simplement vous demander si vous lisiez ce document pour une raison particulière? (Il se trouve que cela est très étroitement lié à certaines de mes recherches.)

— Tara B

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Intuitivement, le théorème dit qu'une ligne n'est pas une union finie de points, un plan n'est pas une union finie de lignes, etc. La preuve la plus simple est d'observer, par exemple, qu'une union finie de lignes a une aire nulle, alors qu'un l'avion ne fonctionne pas.

$\mathbb{R}^n$ $M\subseteq \mathbb{Q}^n$ $A x = b$ $\mathbb{R}^n$

$d$ $\le d - 1$ $d$ $d$ $d$

$\mathbb{F}$ $d$ $\mathbb{F}^n$ $|\mathbb{F}|^d$ $|\mathbb{F}|^d/|\mathbb{F}|^{d-1}=|\mathbb{F}|$ $\le d - 1$ $d$

— David
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Merci!! cela répond aux deux questions. Ce que j'ai (très clairement) voulu dire dans la deuxième question était "que se passerait-il si au lieu d'une variété affine nous avions un ensemble convexe fini". Mais encore, votre réponse a dissipé mes doutes.

— Marcos Villagra

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$\mathbb F$

$n\ge0$ $A\subseteq\mathbb F^m$ $n$ $n$

$n=0$

$n$ $n+1$ $A=\bigcup_{i<k}A_i$ $\dim(A)=n+1$ $\dim(A_i)\le n$ $B\subset A$ $n$ $B=\bigcup_i(B\cap A_i)$ $\dim(B\cap A_i)=n$ $i<k$ $B=A_i$ $k$ $A_i$ $B$ $A$ $n$ $B_0$ $v$ $A$ $B_0$ $A$ $B_0+av$ $a\in\mathbb F$

— Emil Jeřábek
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belle preuve alternative!

— Marcos Villagra

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Non, c'est la preuve et l'autre est alternative car elle traîne dans la théorie de la mesure :-)

— Andrej Bauer

Ahhh je vois, bon point

— Marcos Villagra