Implications de l'improvisibilité de

Je lisais " Est-ce que P par rapport à NP est officiellement indépendant? ", Mais je suis resté perplexe.

Il est largement admis dans la théorie de la complexité que . Ma question est de savoir si ce n'est pas prouvable (disons dans ). (Supposons que nous découvrions seulement que est indépendant de mais aucune autre information sur la façon dont cela est prouvé.)$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$ZFC$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$ZFC$

Quelles seront les implications de cette déclaration? Plus précisement,

dureté

En supposant que capture les algorithmes efficaces ( thèse de Cobham – Edmonds ) et$\mathsf{P}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ , nous prouvons les résultats de pour impliquer qu'ils sont au-delà de la portée actuelle de nos algorithmes efficaces. Si nous prouvons la séparation, N P - h a r d n e s s signifie qu'il n'y a pas d' algorithme polynomial. Mais qu'est-ce qu'un N P - h a r d n $\mathsf{NP\text{-}hardness }$$\mathsf{NP\text{-}hardness}$ signifie-t-il si la séparation n'est pas prouvable? Qu'adviendra-t-il de ces résultats?$\mathsf{NP\text{-}hardness }$

algorithmes efficaces

L'improvabilité de la séparation signifie-t-elle que nous devons changer notre définition d'algorithmes efficaces?

Votre question pourrait être mieux formulée, "Comment la théorie de la complexité serait-elle affectée par la découverte d'une preuve que P = NP est formellement indépendant d'un système axiomatique fort?"

Il est un peu difficile de répondre à cette question dans l'abstrait, c'est-à-dire en l'absence de voir les détails de la preuve. Comme Aaronson le mentionne dans son article, prouver l'indépendance de P = NP nécessiterait des idées radicalement nouvelles, pas seulement sur la théorie de la complexité, mais sur la façon de prouver les déclarations d'indépendance. Comment pouvons-nous prédire les conséquences d'une percée radicale dont nous ne pouvons même pas deviner la forme actuellement?

Pourtant, nous pouvons faire quelques observations. Dans la foulée de la preuve de l'indépendance de l'hypothèse du continuum par rapport à ZFC (et plus tard par rapport à ZFC + grands cardinaux), un nombre important de personnes sont arrivées au point de vue que l'hypothèse du continuum n'est ni vraie ni fausse . Nous pourrions nous demander si les gens arriveront de la même manière à la conclusion que P = NP n'est "ni vrai ni faux" à la suite d'une preuve d'indépendance (pour les besoins de l'argument, supposons que P = NP soit prouvé indépendant de ZFC + tout grand axiome cardinal). Ma supposition ne l'est pas. Aaronson dit essentiellement qu'il ne le ferait pas. Le deuxième théorème d'incomplétude de Goedel n'a conduit personne à ma connaissance à dire que "ZFC est cohérent" n'est ni vrai ni faux., et la plupart des gens ont une forte intuition selon laquelle les déclarations arithmétiques - ou du moins les déclarations arithmétiques aussi simples que «P = NP» - doivent être vraies ou fausses. Une preuve d'indépendance serait simplement interprétée comme disant que nous n'avons aucun moyen de déterminer lequel de P = NP et P NP est le cas.$\ne$

On peut également se demander si les gens interpréteraient cet état de choses comme nous disant qu'il y a quelque chose de "mal" dans nos définitions de P et NP. Peut-être devrions-nous alors refaire les fondements de la théorie de la complexité avec de nouvelles définitions plus faciles à travailler? À ce stade, je pense que nous sommes dans le domaine de la spéculation sauvage et infructueuse, où nous essayons de traverser des ponts auxquels nous ne sommes pas parvenus et d'essayer de réparer des choses qui ne sont pas encore rompues. De plus, il n'est même pas clair que quoi que ce soitêtre "cassé" dans ce scénario. Les théoriciens des ensembles sont parfaitement satisfaits de l'hypothèse que les grands axiomes cardinaux qu'ils jugent utiles. De même, les théoriciens de la complexité pourraient également, dans ce monde futur hypothétique, être parfaitement heureux en supposant que tous les axiomes de séparation qu'ils croient sont vrais, même s'ils sont prouvables non prouvables.

Bref, rien ne découle logiquement d'une preuve d'indépendance de P = NP. Le visage de la théorie de la complexité pourrait changer radicalement à la lumière d'une percée aussi fantastique, mais nous devrons simplement attendre et voir à quoi ressemble cette percée.

C'est une question valable, même si peut-être un peu malheureusement formulée. La meilleure réponse que je puisse donner est cette référence:

Scott Aaronson: Est-ce que P contre NP est officiellement indépendant . Bulletin de l'Association européenne d'informatique théorique, 2003, vol. 81, pages 109-136.

Résumé: Il s'agit d'une enquête sur la question du titre, écrite pour les personnes qui (comme l'auteur) voient la logique comme interdite, ésotérique et éloignée de leurs préoccupations habituelles. Commençant par un cours intensif sur la théorie des ensembles de Zermelo Fraenkel, il traite de l'indépendance d'Oracle; preuves naturelles; les résultats d'indépendance de Razborov, Raz, DeMillo-Lipton, Sazanov et autres; et les obstacles à la preuve de P vs NP indépendamment des théories logiques fortes. Il se termine par quelques réflexions philosophiques sur le moment où il faut s'attendre à ce qu'une question mathématique ait une réponse définie.

$[ZFC][1]$. Cela signifie simplement que la théorie ne peut prouver ni l'énoncé ni sa négation. Cela ne signifie pas que l'énoncé n'a pas de valeur de vérité, cela ne signifie pas que nous ne pouvons pas connaître la valeur de vérité de l'énoncé, nous pourrions être en mesure d'ajouter de nouveaux axiomes raisonnables qui rendront la théorie suffisamment solide pour pouvoir pour prouver les déclarations ou sa négation. À la fin, la prouvabilité dans une théorie est un concept abstrait formel. Elle n'est liée à notre expérience du monde réel qu'en tant que modèle.

$\mathsf{P}$

$\Sigma_1$$\Pi_1$Topology via Logic ", 1996.)

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\Sigma_2$et recherchez les messages sur la liste de diffusion FOM .

Comme prouvé dans cet article:

http://www.cs.technion.ac.il/users/wwwb/cgi-bin/tr-get.cgi/1991/CS/CS0699.revised.pdf

Si P! = NP peut être montré indépendant de Peano Arithmetic, alors NP a des limites supérieures de temps déterministes extrêmement proches du polynôme. En particulier, dans un tel cas, il existe un algorithme DTIME (n ^ 1og * (n)) qui calcule correctement SAT sur une infinité d'intervalles énormes de longueurs d'entrée.

Juste quelques réflexions à ce sujet. N'hésitez pas à critiquer.

Soit Q = [ne peut pas prouver (P = NP) et ne peut pas prouver (P / = NP)]. Supposons Q pour une contradiction. Je supposerai également que toutes les découvertes connues sur P vs NP sont encore viables. En particulier, tous les problèmes NP sont équivalents en ce sens que si vous pouvez résoudre l'un d'eux en temps polynomial, vous pouvez résoudre tous les autres en temps polynomial. Soit donc W un problème complet NP; W représente également tous les problèmes de NP. A cause de Q, on ne peut pas obtenir un algotithme A pour résoudre W en temps polynomial. Sinon, nous avons la preuve que P = NP, ce qui contredit Q (1) (*). Notez que tous les algorithmes sont calculables par définition. Donc, dire que A ne peut pas exister implique qu'il n'y a aucun moyen de calculer W en temps polynomial. Mais cela contredit Q (2). Il nous reste à rejeter (1) ou à rejeter (2). Les deux cas conduisent à une condradiction. Ainsi Q est une contradiction,

(*) Vous pourriez dire: "Aha! A peut exister, mais nous ne pouvons tout simplement pas le trouver". Eh bien, si A existait, nous pouvons énumérer tous les programmes pour trouver A en énumérant des programmes plus petits aux programmes plus grands, en commençant par le programme vide. A doit être fini car c'est un algorithme, donc si A existe, alors le programme d'énumération pour le trouver doit se terminer.