Calcul d'une matrice inverse lorsqu'un élément change

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Étant donné une matrice . Soit la matrice inverse de être (c'est-à-dire, ). Supposons qu'un élément de soit modifié (disons en ). L'objectif est de trouver après ce changement. Existe-t-il une méthode pour trouver cet objectif plus efficace que de recalculer la matrice inverse à partir de zéro. $n \times n$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}^{-1}$ $\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}$ $\mathbf{A}$ $a _{ij}$ $a' _{ij}$ $\mathbf{A}^{-1}$

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— AJed
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Excellentes réponses: j'ai trouvé le document suivant qui s'attaque à ce problème exact: Sankowski, Piotr. "Fermeture transitive dynamique via matrice inverse dynamique." Foundations of Computer Science, 2004. Actes. 45e Symposium annuel de l'IEEE sur. IEEE, 2004.

— AJed

Si le document répond ou résout votre problème d'une manière ou d'une autre, vous pouvez ajouter une réponse! :) Après tout, les commentaires peuvent être supprimés à tout moment.

— Juho

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La formule Sherman-Morrison pourrait aider:

(UNE + u v^{T})^{- 1} = {UNE}^{- 1} - \frac{{UNE}^{- 1} u v^{T} {UNE}^{- 1}}{1 + v^{T} {UNE}^{- 1} u} .

$(A + uv^T)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1} uv^T A^{-1}}{1 + v^T A^{-1} u}.$

Soit et , où est le vecteur de colonne de base standard. Vous pouvez vérifier que si la matrice mise à jour est alors $u = (a'_{ij}-a_{ij}) e_i$ $v = e_j$ $e_i$ $A'$

{UNE}^{' - 1} = {UNE}^{- 1} - \frac{({une}_{je j}^{'} - {une}_{je j}) {UNE}_{je \to}^{- 1} {UNE}_{↓ j}^{- 1 T}}{1 + ({une}_{je j}^{'} - {une}_{je j}) {UNE}_{je j}^{- 1}} .

$A^{\prime -1} = A^{-1} - \frac{(a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{i\rightarrow} A^{-1T}_{\downarrow j}}{1 + (a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{ij}}.$

— Yuval Filmus
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Un changement d'élément unique, étant donné avec , peut être suivi avec une mise à jour de rang un. Alors oui, absolument, il y a un meilleur moyen que de recalculer l'inverse à partir de zéro. $A$ $A^{-1}$

Soit le changement de l'élément . En utilisant comme vecteur de colonne unitaire de un dans la position et des zéros ailleurs, nous avons $\delta = a_{ij}' - a_{ij}$ $a_{ij}$ $e_i$ $i$

(UNE + e_{je} δ e_{j}^{⊤}) {UNE}^{- 1} = je + e_{je} δ e_{j}^{⊤} {UNE}^{- 1}

$(A + e_i \delta e_j^\top )A^{-1} = I + e_i \delta e_j^\top A^{-1}$

est la matrice nulle, sauf la valeur de enposition . Pouvez-vous voir ici comment une multiplication appropriée de rang 1 avec peut donner la nouvelle inverse souhaitée? (Ou de manière équivalente, les opérations de colonne élémentaire sur ) $e_i \delta e_j^\top$ $\delta$ $ij$ $A^{-1}$ $A^{-1}$

Ou si vous préférez effectuer des opérations sur les lignes, vous pouvez utiliser

{UNE}^{- 1} (UNE + e_{je} δ e_{j}^{⊤}) = je + {UNE}^{- 1} e_{je} δ e_{j}^{⊤}

$A^{-1}(A + e_i \delta e_j^\top ) = I + A^{-1}e_i \delta e_j^\top$

$A^{-1}$

— adam W
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Belle réponse, mais en quoi est-ce différent de la précédente de Yuval?

— AJed

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A^{- 1}

$A^{-1}$