Quelle est exactement la différence sémantique entre catégorie et ensemble?

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Dans cette question, j'ai demandé quelle est la différence entre set et type . Ces réponses ont été vraiment clarifiantes (par exemple @AndrejBauer), donc dans ma soif de connaissances, je me soumets à la tentation de poser la même question sur les catégories:

Chaque fois que je lis sur la théorie des catégories (qui est certes plutôt informelle), je ne peux pas vraiment comprendre en quoi elle diffère de la théorie des ensembles, concrètement .

Ainsi , dans le plus concret façon possible, ce qui fait exactement cela implique au sujet $x$ pour dire qu'il est dans la catégorie , par rapport à dire que ? (par exemple, quelle est la différence entre dire que est un groupe et dire que est dans la catégorie ?). $C$ $x\in S$ $x$ $x$ $\mathrm {Grp}$

(Vous pouvez choisir n'importe quelle catégorie et ensemble qui rend la comparaison plus claire).

sets category-theory

— user56834
source

Je ne suis pas sûr que cette question soit bien formulée. Vous demandez d'abord quelle est la différence entre dire que «x est dans une catégorie C» et «x est dans un ensemble S». Mais ensuite, vous donnez l'exemple de demander «x est dans la catégorie Grp» vs «x est un groupe». Quoi? Ce n'est pas un exemple de votre question. Un exemple de votre question est de savoir quelle est la différence entre «x est dans la catégorie Grp» et «x est dans l'ensemble de tous les groupes». Mais même alors, ce n'est pas vraiment ce que vous demandez si vous demandez quelles sont les différences entre les catégories et les ensembles.

— Miles Rout

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En bref, la théorie des ensembles concerne l'appartenance tandis que la théorie des catégories concerne les transformations préservant la structure.

La théorie des ensembles ne concerne que l'appartenance (c'est-à-dire être un élément) et ce qui peut être exprimé en termes de cela (par exemple être un sous-ensemble). Il ne se préoccupe d'aucune autre propriété des éléments ou des ensembles.

La théorie des catégories est une façon de parler de la façon dont les structures mathématiques d'un type donné ¹ peuvent être transformées les unes en les autres ² par des fonctions qui préservent un aspect de leur structure; il fournit un langage uniforme pour parler d'un large éventail de types ¹ de structure mathématique (groupes, automates, espaces vectoriels, ensembles, espaces topologiques,… et même des catégories!) et des mappings au sein de ces types ¹ . Bien qu'il formalise les propriétés des mappages entre structures (vraiment: entre les ensembles auxquels la structure est imposée), il ne traite que des propriétés abstraites des cartes et des structures, les appelant morphismes (ou flèches ) et objets; les éléments de tels ensembles structurés ne relèvent pas de la théorie des catégories, pas plus que les structures de ces ensembles. Vous demandez «de quoi s'agit-il une théorie »; c'est une théorie des mappages préservant la structure d'objets mathématiques d'un type arbitraire ¹ .

La théorie des catégories abstraites ³ , cependant, comme nous venons de le dire, ignore totalement les ensembles, les opérations, les relations et les axiomes spécifiant la structure des objets en question, et fournit simplement un langage dans lequel parler de la façon dont les mappages qui préservent une telle structure se comporter: sans savoir quelle structure est préservée, nous savons que la combinaison de deux de ces cartes préserve également la structure. Pour cette raison, les axiomes de la théorie des catégories exigent qu'il y ait une loi de composition associative sur les morphismes et, de même, qu'il y ait un morphisme identitaire de chaque objet à lui-même. Mais cela ne suppose pas que les morphismes sont en fait des fonctions entre les ensembles, mais simplement qu'ils se comportent comme eux.

A élaborer: Les catégories concrètes modélisent l'idée d'ajouter de la structure aux objets d'une «catégorie de base»; quand il s'agit de nous pouvons avoir la situation où nous ajoutons une structure comme une opération de groupe à un ensemble. Dans ce cas, on peut avoir plus à dire sur la façon dont la structure est ajoutée en termes de catégorie de base spécifique. $\mathsf{Set}$

Quant aux implications de vos formulations , dire que " est un groupe", que " est un élément de l'ensemble des groupes" (en fait une classe appropriée ) ou que " est (un objet) dans »(Ou un« -object ») signifie la même chose logiquement, mais parler de la catégorie suggère que vous êtes intéressé par les homomorphismes de groupe (les morphismes de ) et peut-être par ce qu'ils ont en commun avec d'autres morphismes. D'un autre côté, en disant $G$ $G$ $G$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $G$ Un groupe peut suggérer que vous êtes intéressé par la structure du groupe (son opération de multiplication) lui-même ou peut-être par la façon dont le groupe agit sur un autre objet mathématique. Il est peu probable que vous parliez de appartenant à l'ensemble des groupes, bien que vous puissiez facilement écrire pour un ensemble particulier de groupes qui vous intéressent. $G$ $G ∈ S$ $S$

Voir également

/math/tagged/category-theory?sort=votes
- En particulier /math/272875/concrete-category-and-abstract-category#1774821
Catégories abstraites et concrètes: la joie des chats d'Adámek, Herrlich et Strecker
https://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory
- https://en.wikipedia.org/wiki/Concrete_category

¹ _{Ici et passim, je ne me réfère pas au type au sens de la théorie des types, mais plutôt à un ensemble de propriétés requises des objets / structures mathématiques, c'est-à-dire un ensemble d'axiomes qu'ils satisfont. Normalement, ceux-ci décrivent le comportement de certaines opérations ou relations sur des éléments des ensembles considérés comme porteurs de la structure, bien que dans le cas des ensembles eux-mêmes ( ) il n'y ait pas de structure au-delà des ensembles eux-mêmes. En tout cas, comme dit plus haut, la théorie des catégories ignore les détails de cette structure. $\mathsf{Set}$}

² _{Je devrais peut-être dire en tout ou partie les uns des autres : on permet l'homomorphisme de (entiers) dans (rationnels) donné par . $\mathbb Z$ $\mathbb Q$ $n \mapsto \frac n 2$}

³ _{Sans qualification, « catégorie » signifie normalement «catégorie abstraite», introduite, pour autant que je puisse voir, en 1945 et développée dans les années 1960 tandis que les catégories concrètes semblent apparaître dans les années 1970.}

— PJTraill
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Je ne sais pas si c'était rhétorique, mais il y a certainement une classe appropriée de groupes. Par exemple, chaque ensemble donne naissance à un groupe trivial sur l'ensemble singleton contenant cet ensemble. Vous pouvez également produire une classe appropriée d'exemples non isomorphes.

— Derek Elkins a quitté le SE

Je vous remercie. Quand vous dites: "c'est une théorie des mappages préservant la structure d'objets mathématiques d'un type arbitraire ", voulez-vous dire "type" au sens de la théorie des types, ou plus officieusement?

— user56834

@ Programmer2134: Désolé si le type était déroutant (je me suis demandé); Je ne veux pas faire référence à la théorie des types (dont je connais peu), mais plutôt à des objets / structures mathématiques avec un certain ensemble de propriétés (c'est-à-dire satisfaire certains axiomes) par des objets / structures mathématiques d'un type donné .

— PJTraill

Cela clarifie. La théorie des catégories suppose-t-elle également spécifiquement qu'il existe de tels axiomes et que ces objets satisfont tous ces axiomes, ou s'agit-il simplement d'un méta-critère que nous utilisons pour définir les catégories (c'est-à-dire méta au cadre de la théorie des catégories)?

— user56834

@ Programmer2134: Non, la théorie des catégories ignore totalement les axiomes et fournit simplement un langage dans lequel parler de mappages qui préservent une telle structure: sans savoir quelle structure est préservée, nous savons que la combinaison de deux de ces cartes préserve également la structure. Pour cette raison, les axiomes de la théorie des catégories exigent qu'il y ait une loi de composition associative sur les morphismes et, de même, qu'il y ait un morphisme identitaire de chaque objet à lui-même. Mais cela ne suppose pas que les morphismes sont en fait des fonctions entre les ensembles, mais simplement qu'ils se comportent comme eux.

— PJTraill

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$C$ $x$ $x$ $x$ $x$ $x$

$x$ $x$

— DW
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Permettez-moi donc de comparer les catégories avec les ensembles et les types, comme l'a fait @AndrejBrauer dans sa réponse à mon autre question. Un ensemble formalise la notion de collection d'objets. Un type formalise la notion de construction d'objets. Quelle notion la «catégorie» formalise-t-elle? Quel est le processus mathématique / structure est la théorie des catégories une théorie de ?

— user56834

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

@ Programmer2134, c'est un bon point. Logique. J'accepte votre point.

— DW

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Un autre point sur l'explication de DW

$x$ $x$ $\mathsf{Grp}$

Je voudrais faire une déclaration plus forte:

Un concept est défini par sa catégorie

$M$ $M$ $M_0$

$M$ $M$ $A \in M_0$ $B \in M_0$ $A$ $B$ $M(A,B)$

$M_0$ $M(A,B)$

Une fois que vous avez cela, la catégorie vous donne de nombreuses propriétés par défaut du concept. Les exemples vont de

"quelles instances sont essentiellement les mêmes --- isomorphisme",
"laquelle de ces deux instances est la plus et laquelle est la moins --- paire section-rétraction",
"Combien d'éléments de base se trouvent dans cette instance? --- homset de l'objet terminal"

etc.

Quant à la question que vous posez en commentaire

De quel processus / structure mathématique la théorie des catégories est-elle une théorie?

$\mathsf{Cat}$

— Apiwat Chantawibul
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Hmm. Je ne comprends pas exactement comment, si nous connaissons la catégorie d'une structure, nous savons tout sur cette structure. Nous ne savons pas quels axiomes la structure satisfait, n'est-ce pas?

— user56834

@ Programmer2134 Repenser la théorie des ensembles de Tom Leinster (qui est un résumé des travaux de Lawvere) en est un bon exemple. Le travail définit la théorie des ensembles elle-même en définissant les propriétés (des morphismes de) la catégorie des ensembles (sans accéder `` à l'intérieur '' à aucun objet pour accéder à toute hypothèse préexistante que nous pourrions avoir sur les ensembles.)

— Apiwat Chantawibul

Vous dites donc qu'aucune information sur la théorie des ensembles n'est perdue en considérant simplement la catégorie des ensembles, tout en oubliant ses axiomes?

— user56834

@ Programmer2134 Oui, en fait, c'est plus comme les axiomes qui définissent la théorie des ensembles ZFC se sont traduits en propriétés purement des morphismes. Donc, cette catégorie, que nous affirmons avoir des propriétés sur les morphismes, définit la théorie des ensembles.

— Apiwat Chantawibul

Connaissez-vous un texte qui explique précisément ce point sur la théorie des catégories de manière claire?

— user56834

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Ensembles

x \in A

$x\in A$

$f$

(x, y) \in f and (x, z) \in f \Rightarrow y = z

$(x,y)\in f\text{ and }(x,z)\in f \Rightarrow y=z$

Philosophie. Les décors ont une structure interne - ils sont complètement déterminés par leurs éléments.

Remarque. Un système axiomatique largement utilisé par les théoriciens des ensembles est le ZFC. Sa force est la simplicité: il n'y a que des ensembles et une relation d'appartenance. D'un autre côté, de nombreux mathématiciens estiment que cela conduit à un concept d'ensemble qui diffère de leur compréhension et de leur utilisation (comparer ci-dessous Leinster ). En fait, la grande majorité des mathématiciens (à l'exception des théoriciens des ensembles) ne semble pas utiliser les axiomes ZFC. Cependant, les ensembles ne font pas nécessairement référence à ZFC (voir ci-dessous les catégories et ETCS).

Les catégories

A \to B

$A\rightarrow B$

$x\in A$ $\{y\})$

x : 1 \to A

$x:1\rightarrow A$

Philosophie. Les objets d'une catégorie n'ont a priori pas de structure interne. Ils sont simplement caractérisés par leurs relations (morphismes) avec d'autres objets.

Remarque. Le concept de base des catégories est la fonction et cela coïncide avec l'utilisation des ensembles par la grande majorité des mathématiciens. Par conséquent, vous pourriez considérer les catégories comme une généralisation conceptuelle de la façon dont (la plupart) des mathématiciens de domaines très différents utilisent des ensembles dans leur travail quotidien. En dehors des catégories (et des topos) en tant que généralisation, vous pourriez jeter un œil au système axiomatique ETCS qui est l'axiomatisation des ensembles (comparer ci-dessous Leinster et Lawvere ).

Question. Quelle est la différence entre dire que x est un groupe et dire que x est dans la catégorie Grp?

$x$ $x$

Critiques

Dans le cas de ZFC et ETCS, ces approches peuvent être traduites l'une dans l'autre, bien que ETCS soit plus faible que ZFC mais couvre (apparemment) la plupart des mathématiques (voir MathStackExchange et Leinster). En principe (en utilisant une extension d'ETCS), vous pouvez prouver les mêmes résultats avec les deux approches. Ainsi, les philosophies mentionnées ci-dessus des deux concepts ne revendiquent pas une distinction fondamentale dans ce que vous pouvez exprimer ou quels résultats vous pouvez prouver.

L' ensemble d' expressions et l' appartenance à ZFC sont des concepts abstraits tout comme les concepts de catégories ou de tout autre système axiomatique et peuvent signifier n'importe quoi. Donc, de ce point de vue formel, affirmer que ZFC se préoccupe de la structure interne des ensembles alors que les catégories traitent des relations externes des objets les uns aux autres semble inapproprié. D'un autre côté, cela semble être la philosophie ou l'intuition des théories concernant.

Cependant, dans la pratique, vous préférerez une certaine approche, par exemple par souci de clarté ou de simplicité ou parce qu'un concept ou une connexion à un autre domaine évolue plus naturellement qu'ailleurs.

Références

Spivak. Théorie des catégories pour les scientifiques

Leinster: repenser la théorie des ensembles

Lawvere: une théorie élémentaire de la catégorie des ensembles

Théorie MathStackExchange.Category sans ensembles

— FWE
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