La plupart de vos déclarations sont des algèbres élémentaires, elles peuvent donc être prouvées automatiquement par un système d'algèbre informatique (CAS), comme Maple ou Mathematica.
(Si vous êtes intéressé par les mathématiques derrière CAS, je peux recommander le livre Modern Computer Algebra de Joachim von zur Gathen et Jürgen Gerhard, un beau livre, considéré comme la `` bible '' du domaine)
La démonstration automatisée de théorèmes a tendance à être principalement un cas de recherche heuristique sur une structure qui représente des preuves, si la preuve n'est pas l'un des rares cas pour lesquels il existe un algorithme qui peut le résoudre de manière concluante. Étant donné que ces déclarations ne sont pas très compliquées, il est probable qu'un prouveur automatisé puisse «trouver» une preuve.
Cependant, je pense qu'il est intéressant d'en dire un peu plus sur les énoncés pour lesquels il existe de bons algorithmes:
L'énoncé 3 concerne (un cas très simple) les racines d'un (système) d'équations polynomiales et peut être résolu en trouvant une base de Gröbner avec l'algorithme de Buchberger. La base de Gröbner et l'algorithme de Buchberger pour en trouver un sont de très bons outils pour la démonstration automatisée de théorèmes. Par exemple, nous pouvons même prouver automatiquement des théorèmes élémentaires en géométrie en transformant automatiquement le problème en trouvant une racine d'une équation polynomiale de manière intelligente!
Une autre classe intéressante de théorèmes sont les déclarations exprimables en arithmétique Presburger sans quantificateur (en particulier, cette arithmétique est sans multiplication, donc cela ne s'applique pas à vos déclarations), car il existe un algorithme pour résoudre toutes ces déclarations, même si l'algorithme est un peu lent.