Je vois de nombreux problèmes algorithmiques qui réduisent toujours à quelque chose de long:

Vous avez un tableau entier $h[1..n]\geq 0$ , vous devez trouver $i,j$ tel que maximise $(h[j]-h[i])(j-i)$ en temps $O(n)$ .

Évidemment, la solution temporelle $O(n^2)$ consiste à considérer toutes les paires, mais y a-t-il un moyen de maximiser l'expression dans $O(n)$ sans connaître autre chose des propriétés de $h$ ?

Une idée à laquelle j'ai pensé est de fixer $j$ , alors nous devons trouver $i^*$ de $1$ à $j-1$ qui est égal à $\text{argmax}_i\{(h[j]-h[i])(j-i)\}$ ou $\text{argmax}_i\{h[j]j-h[j]i-h[i]j+h[i]i\}$ et puisque$j$ est fixe, alors nous avons besoin d'$\text{argmax}_i\{-h[j]i-jh[i]+ih[i]\}$ .

Cependant, je ne vois aucun moyen de se débarrasser des $j$ termes dépendants à l'intérieur. De l'aide?

Il s'agit d'une solution . Une solution O ( n ) signalée par Willard Zhan est annexée à la fin de cette réponse.$O(n\log n)$$O(n)$

Solution O ( n log n $O(n\log n)$

Pour la convience, notons .$f(i,j)=(h[j]-h[i])(j-i)$

Définissez , et l i est le plus petit indice tel que l i > l i - 1 et h [ l i ] < h [ l i - 1 ] . De même, définissez r 1 = n , et r i est le plus grand indice tel que r i < r i - 1 et h [ r i ] $l_1=1$$l_i$$l_i>l_{i-1}$$h[l_i]<h[l_{i-1}]$$r_1=n$$r_i$$r_i<r_{i-1}$ . Les séquences de l 1 , l 2 , . . . et r 1 , r 2 , … sont faciles à calculer en temps O ( n ) .$h[r_i]>h[r_{i-1}]$$l_1,l_2,...$$r_1,r_2,\ldots$$O(n)$

Le cas où il n'y a pas de tel que h [ i ] < h [ j ] (ie f ( i , j ) > 0 ) est trivial. Nous nous concentrons maintenant sur les cas non triviaux. Dans de tels cas, pour trouver la solution, il suffit de considérer de telles paires.$i<j$$h[i]< h[j]$$f(i,j)>0$

Pour chaque tel que h [ i ] < h [ j ] , soit u le plus grand indice tel que l u ≤ i , et v le plus petit indice tel que r v ≥ j , alors h [ l u ] ≤ h [ i ] (sinon l u + 1 ≤ i par définition de l u + $i<j$$h[i]<h[j]$$u$$l_u\le i$$v$$r_v\ge j$$h[l_u]\le h[i]$$l_{u+1}\le i$$l_{u+1}$, contredit donc la définition de ), et de même h [ r v ] ≥ h [ j ] . Donc ( h [ r v ] - h [ l u ] ) ( r v - l u ) ≥ ( h [ j ] - h [ i ] ) ( r v - l u ) ≥ ( h $u$$h[r_v]\ge h[j]$ Cela signifie que nous devons seulement considérer les paires ( l u , r v ) où l u < r v .

Notons , nous avons le lemme suivant.$v(u)=\arg\max_{v:\ l_u<r_v}f(l_u,r_v)$

Une paire où l u < r v , et où il existe u 0 tel que u < u 0 et v < v ( u 0 ) ou tel que u > u 0 et v > v ( u 0 ) , ne peut être une solution optimale finale.$(l_u,r_v)$$l_u<r_v$$u_0$$u<u_0$$v<v(u_0)$$u>u_0$$v>v(u_0)$

Preuve. Selon la définition de , nous avons ( h [ r v ( u 0 ) ] - h [ l u 0 ] ) ( r v ( u 0 ) - l u 0 ) ≥ ( h [ r v ] - h [ l u 0 ] ) ( r v - $v(u_0)$ ou (h[rv]-h[r v ( u 0 ) ])l u 0 +h[l u 0 ](rv-r v ( u 0 ) )+h[r v ( u 0 ) ]r v ( u 0 )

$$(h[r_{v(u_0)}]-h[l_{u_0}])(r_{v(u_0)}-l_{u_0}) \ge (h[r_v]-h[l_{u_0}])(r_v-l_{u_0}),$$ $$(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_{u_0}+h[l_{u_0}](r_v-r_{v(u_0)})+h[r_{v(u_0)}]r_{v(u_0)}-h[r_v]r_{v(u_0)} \ge 0.$$

$u<u_0$$v<v(u_0)$$h[r_v]-h[r_{v(u_0)}]<0$$r_v-r_{v(u_0)}>0$$l_u<l_{u_0}$$h[l_u]>h[l_{u_0}]$

$$\begin{align*} &(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_u+h[l_u](r_v-r_{v(u_0)})\\ >\ &(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_{u_0}+h[l_{u_0}](r_v-r_{v(u_0)}). \end{align*}$$

$$(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_u+h[l_u](r_v-r_{v(u_0)})+h[r_{v(u_0)}]r_{v(u_0)}-h[r_v]r_{v(u_0)} > 0,$$ ou $$(h[r_{v(u_0)}]-h[l_u])(r_{v(u_0)}-l_u) > (h[r_v]-h[l_u])(r_v-l_u).$$

Donc $(l_u,r_{v(u_0)})$ est une solution strictement meilleure que $(l_u,r_v)$. La preuve pour l'autre cas est similaire.$\blacksquare$

Nous pouvons calculer $v(\ell/2)$ tout d'abord où $\ell$ est la longueur de la séquence $l_1,l_2,\ldots$, puis calculez récursivement la solution optimale$o_1$ parmi $(l_u,r_v)$c'est pour $u=1,\ldots,\ell/2-1$ et $v=v(\ell/2),v(\ell/2)+1,\ldots$, et la solution optimale $o_2$ parmi $(l_u,r_v)$c'est pour $u=\ell/2+1,\ell/2+2,\ldots$ et $v=1,\dots,v(\ell/2)$. En raison du lemme, la solution optimale globale doit provenir de$\{(l_{\ell/2},r_{v(\ell/2)}),o_1,o_2\}$.

$O(n)$ Solution

Laisser $f(l_u,r_v)=-\infty$ si $l_u\ge r_v$. La preuve du lemme montre également une propriété importante: pour$u>u_0$ et $v>v_0$, si $f(l_{u_0},r_{v_0})\ge f(l_{u_0},r_v)$, puis $f(l_u,r_{v_0})>f(l_u,r_v)$. Cela signifie que la matrice$M[x,y]:=-f(l_x,r_{c-y+1})$ est une matrice totalement monotone où $c$ est la longueur de la séquence $r_1,r_2,\ldots$ (donc $r_{c-y+1}$ signifie le $y$-th élément de la fin), l' algorithme SMAWK peut alors appliquer pour trouver la valeur minimale de$M$, donc la valeur maximale de $f$.