Algorithmes calculant si un nombre est multiple de 3

En faisant du calcul mental, on peut faire:

• Étant donné un entier k, additionnez tous les chiffres (en base 10), et si le résultat est un multiple de 3, alors k est un multiple de 3.

Connaissez-vous un algorithme fonctionnant de manière similaire mais fonctionnant sur des chiffres binaires (bits)?

• Au début, je pensais utiliser les fonctions prêtes à l'emploi de mon langage pour convertir un entier en ascii pour effectuer la conversion de la base 2 à la base 10, puis appliquer l'astuce du calcul mental. Mais bien sûr, je pourrais également encoder moi-même la conversion de base 2 en 10. Je ne l'ai pas encore fait, mais je vais essayer.

• Ensuite, j'ai pensé à la division euclidienne en base 2 ...

Cependant, je me demande s'il existe d'autres moyens, des algorithmes.

Considérez les deux observations suivantes (laissées en exercice au lecteur):

1. Les puissances paires de deux sont 1 modulo 3.
2. Les puissances impaires de deux sont -1 modulo 3.

Nous concluons qu'un nombre (en binaire) est divisible par trois si et seulement si la somme des bits dans les positions paires est égale à la somme des bits dans les positions impaires modulo 3.

Qu'en est-il d'un automate à états finis pour le travail?

Bien sûr, la magie n'est que le calcul modulo 3. Ajouter le symbole derrière la chaîne x signifie que la "valeur binaire" de la chaîne va de v a l ( x ) pour x à 2 ⋅ v a l ( x ) + a pour x a . Par conséquent, de l'état p et du symbole a, nous passons à l'état 2 p + a mod 3 , pour p ∈ { 0 , 1 , $a$$x$$val(x)$$x$$2\cdot val(x)+a$$xa$$p$$a$$2p+a \bmod 3$ et un ∈ { 0 , 1 } . Remarque x ∈ { 0 , 1 } ∗ est une chaîne, alors que v a l ( x ) ∈ N est sa valeur sous forme de chaîne binaire.$p\in \{0,1,2\}$$a\in \{0,1\}$$x\in \{0,1\}^*$$val(x)\in \Bbb{N}$

En binaire, les nombres 1, 100, 10000 (= 100 × 100), 1000000 (= 100 × 100 × 100) etc. donnent tous le même reste après la division par 11 (trois). Par conséquent, si nous divisons un nombre binaire en parties de longueur paire , la somme des parties donne le même reste que le nombre d'origine.

(Lors de la division du nombre, nous ajoutons autant de zéros que nécessaire au début . Par exemple, nous diviserions 10111 en groupes 01,01,11 ou 0001,0111.)

Mathématiquement, il suffit de diviser le nombre en groupes de deux chiffres, puis d'ajouter les groupes; et répétez cette opération jusqu'à ce que votre résultat devienne 00 ou 11 = le nombre d'origine était un multiple de trois; ou 01 ou 10 = le nombre d'origine n'était pas un multiple de trois.

Pour un programme informatique, l'utilisation de groupes de huit ou seize ou trente-deux bits peut être plus rapide pour votre processeur. Par exemple, si l'ajout de huit bits est le plus rapide, faites simplement une somme de tous les octets, et encore, jusqu'à ce que le résultat tienne dans un octet. Utilisez ensuite une instruction pour déterminer le reste après avoir divisé par trois.

(Remarque: nous supposons ici des entiers non signés . Avec un nombre signé, il a besoin d'un peu plus d'attention. Par exemple, 129 est un multiple de 3, mais -127 ne l'est pas, bien que les bits 10000001 signifient pour ancien comme octet non signé et ce dernier sous forme d'octet signé.)

Bien qu'elle ne soit pas spécifique aux binaires, en cas de doute, la soustraction répétée est toujours un moyen infaillible de calculer la division avec le reste (et donc si un nombre est un multiple de 3).