Pourquoi nous faisons de l'isomorphisme, de l'automorphisme et de l'homomorphisme?

12

Quelles sont les principales différences entre ces trois termes isomorphisme, automorphisme et homomorphisme dans un langage simple profane et pourquoi nous faisons isomorphisme, automorphisme et homomorphisme?

graph-theory

— Xara
source

17

L'isomorphisme formalise la notion de graphes égaux . Par exemple, sur cette figure, vous voyez trois graphiques isomorphes entrez la description de l'image ici

Plus formellement, un isomorphisme des graphes et est une bijection qui préserve la contiguïté. C'est-à-dire: $G_1$ $G_2$ $f:V(G_1) \mapsto V(G_2)$

u \sim_{G_{1}} v ⟺ f (u) \sim_{G_{2}} f (v)

$u \sim_{G_1} v \iff f(u) \sim_{G_2} f(v)$

Il n'est pas difficile de trouver une telle bijection pour chaque paire de graphiques sur l'image.

$G_1 = G_2$

$f$ $G$ $v$ $u$ $u$ $v$

$G$ $u,v \in V(G)$ $f:V(G) \mapsto V(G)$ $f(u) = v.$ entrez la description de l'image ici

et comme vous pouvez le voir, les graphiques "sont" assez symétriques. C'est précisément parce qu'il a "beaucoup" d'automorphismes du type décrit.

Les homomorphismes graphiques ne sont généralement pas étudiés par des profanes et sont plus ou moins à des fins théoriques. Par exemple, ils sont étroitement liés à la notion de coloration des sommets. Voir aussi la conjecture de Hadwiger

— Jernej
source

1

... les homomorphismes ne sont généralement pas étudiés par un profane ... hilarant! +1

— Pratik Deoghare

8

$h:G\rightarrow G'$ $G=(V,E)$ $G'=(V',E')$ $e=(u,v) \in E$ $(h(u),h(v))\in E'$

Maintenant, un isomorphisme de graphe est un homomorphisme bijectif, ce qui signifie que son inverse est également un homomorphisme. Si deux graphiques sont isomorphes, alors ils sont essentiellement le même graphique, juste avec un réétiquetage des sommets. Le problème de déterminer si deux graphiques sont isomorphes l'un à l'autre est un problème important dans la théorie de la complexité.

Enfin, un automorphisme est un isomorphisme d'un graphe à lui-même.

— Marc Khoury
source