Un ordinateur quantique pourrait-il effectuer une algèbre linéaire plus rapidement qu'un ordinateur classique?

Supposons que nous disposions d'un ordinateur quantique avec un nombre suffisant de qubits, pourrions-nous l'utiliser pour faire de l'algèbre linéaire plus rapidement qu'avec un ordinateur classique? À quel genre d'accélération pouvons-nous nous attendre? Quelqu'un a-t-il créé un algorithme quantique pour l'algèbre linéaire, et quel est son temps d'exécution? En théorie, une opération telle que la multiplication matrice-matrice est hautement parallélisable, mais en pratique, elle nécessite beaucoup de travail pour mettre en œuvre une multiplication matrice-matrice parallèle qui s'exécute rapidement. Un ordinateur quantique offrirait-il un avantage pratique?

Voici quelques conseils:

• Algorithme quantique pour les systèmes linéaires d'équations de Harrow, Hassidim et Lloyd. Cet article montre comment résoudre très rapidement des systèmes clairsemés d'équations linéaires.

• Algorithmes quantiques pour l'algèbre linéaire et l'apprentissage automatique par Anupam Prakash. Cette thèse propose un algorithme rapide d'estimation de valeurs singulières et présente plusieurs applications.

Modèle mathématique avec matrice

L'algorithme HHL peut être trouvé dans les liens déjà mentionnés, implémentons-le sur un ordinateur quantique. Nous voulons résoudre un système d'équations linéaires$A|x> = |b>$ De cela $|x> = A^{-1} |b>$

Avec matrice $A = \begin{bmatrix} 1.5 & 0.5 \\ 0.5 & 1.5 \end{bmatrix}$ et entrée $b = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$A^{-1} . |b> = \begin{bmatrix} 0.75 \\ -0.25 \end{bmatrix}$

Conception de circuits quantiques

Nous utilisons le circuit quantique dans arXiv 1302.1210 avec 2 qubits, un qubit avec l'entrée b. Le deuxième qubit est un bit ancilla et un sur la sortie signifie que la sortie est prête. Le circuit utilise un circuit PEA (porte R) en entrée et un circuit PEA inverse en sortie. L'estimation de phase ou PEA est utilisée pour décomposer l'état quantique de | b> dans une base particulière et les valeurs propres de A sont stockées dans un registre de valeurs propres. La porte de rotation R (y) se transforme avec un angle dépendant de la valeur dans le registre de valeurs propres. Ensuite, nous exécutons un PEA en sens inverse pour calculer la valeur propre et trouver la réponse. Dans l'ordinateur quantique, seule la possibilité de trouver un 1 ou un 0 peut être mesurée.

Paramètres de porte

R est la matrice des vecteurs propres de la matrice A et Rdagger est sa transposition. De la matrice A, nous trouvons les valeurs propres$\lambda_{1} = 1 \; \lambda_{2} = 2$L'angle de rotation de la porte de rotation Y est déterminé par le rapport des valeurs propres. Angle de rotation$\theta = -2arccos \dfrac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} \\$

$\theta = -2arccos(1/2)= -2\dfrac{\pi}{3}$. Implémentez ce circuit dans l'ordinateur quantique IBM avec le lien vers le circuit:

quantumexperience.ng.bluemix.net/qx/editor?codeId=9da9d545772273118671911e1078ac42