Maximiser une fonction convexe avec une contrainte linéaire

maximize f (x) subject to A x = b

$\text{maximize } f(\mathbf{x}) \quad\text{subject to } \mathbf{Ax} = \mathbf{b}$

où

f (x) = \sum_{i = 1}^{N} \sqrt{1 + \frac{x_{i}^{4}}{{(\sum_{i = 1}^{N} x_{i}^{2})}^{2}}},

$f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^N\sqrt{1+\frac{x_i^4}{\left(\sum_{i=1}^{N}x_i^2\right)^2}},$

et . $\mathbf{x} = [x_1,x_2,...,x_N]^T \in \mathbb{R}^{N\times 1}$ $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{M\times N}$

On voit que est convexe et de la forme $f$ . On peut aussi montrer queest borné dans $\sqrt{1+y^2}$ $f$ . Je sais qu'un problème de maximisation convexe est NP-difficile, en général. $[\sqrt{2}, 2]$

Cependant, en utilisant la nature spécifique du problème, est-il possible de le résoudre en utilisant un logiciel / package d'optimisation convexe standard?

optimization

— Sooraj
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Il existe deux sommations, l'une à l'intérieur de l'autre, qui utilisent la même "variable de boucle"

. Il semble clair du contexte quelles utilisations de

sont lesquelles, mais veuillez corriger pour plus de clarté.

i

$i$

i

$i$

— j_random_hacker

Oui, l'optimisation convexe avec contrainte d'égalité est NP-Hard en général. Cependant, il existe des techniques matures qui trouvent de très belles solutions approximatives aux problèmes d'optimisation convexe, comme la descente de coordonnées.

$k$ $x = (x_1, x_2, x_3, ..., x_n)$ $x_i$ $f(\cdot)$ $x_i$

Ensuite, nous fixons de manière itérative la coordonnée nk-1 et améliorons la solution jusqu'à trouver une approximativement optimale.

— Strin
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@RodrigodeAzevedo: Ce n'est pas une contradiction ou une surprise que LP, un cas particulier d'optimisation convexe, soit plus facile que le cas général.

— j_random_hacker