La constante de Chaitin est normale?

Selon cette source, la constante de Chaitin $\Omega$ Est normal.

Chaque probabilité d'arrêt est un nombre réel normal et transcendantal qui n'est pas calculable, ce qui signifie qu'il n'y a pas d'algorithme pour calculer ses chiffres. En effet, chaque probabilité d'arrêt est aléatoire de Martin-Löf, ce qui signifie qu'il n'y a même pas d'algorithme qui puisse deviner de manière fiable ses chiffres.

Source (Wikipedia)

En outre, la définition de la normale est que chaque chiffre se produit avec une probabilité égale $1/b$. Et que chaque duo de chiffres se produit avec$1/b^2$ probabilité et tous les triplets se produisent avec probabilité $1/b^3$ etc.

L'oméga de Chaitin est calculé via

$\Omega = \sum_{p \in halts} 2^{-|p|}$

L'écriture $\Omega$ en binaire, on obtient une liste de 0 et 1. Par exemple,

2^-1=0.1 +
2^-2=0.01 +
2^-3=0.001 +
~skip 2^-4 as it does not halt
2^-5=0.00001 +
...
=\Omega
=0.11101...

On voit bien que la position de chaque bit correspond à l'état d'arrêt du programme de longueur correspondant au bit.

Voici ce avec quoi je me bats

Si $\Omega$est en effet normal, cela signifie que exactement 50% des programmes s'arrêtent et exactement 50% ne s'arrêtent pas. Cela semble très contre-intuitif.

Par exemple, supposons que je génère des programmes Java en concaténant au hasard des caractères uniques. La majorité d'entre eux, je suppose que plus de 99,99% ne compileraient même pas. Cela n'impliquerait-il pas qu'au moins 99,99% d'entre eux ne s'arrêteront pas? Comment pouvons-nous justifier que exactement la moitié s'arrêtera et exactement la moitié ne le sera pas, en vertu de$\Omega$ être normal.

Ou Wikipédia est-il incorrect $\Omega$ être normal?

Contrairement à votre exemple, la constante de Chaitin n'est pas définie comme suit:

Au lieu de cela, il y a un ensemble $\Pi \subseteq \{0,1\}^*$des programmes autorisés sans préfixe (aucune chaîne n'est le préfixe d'une autre chaîne). Chacun des programmes$\Pi$est légal (cela nie votre exemple Java). Si les programmes sont encodés en unaire, il est en effet vrai que le$n$e programme a une longueur $n$, puis votre définition de $\Omega$travaux. Mais pour les autres encodages, la définition de$\Omega$ est

La constante de Chaitin est algorithmiquement aléatoire : la (préfixe) complexité de Kolmogorov du premier$n$ bits est $n - O(1)$. Pour le montrer, notez d'abord que$\Omega_n$, la première $n$ un peu de $\Omega$, suffit pour déterminer si un programme de longueur $n$ (sous l'encodage $\Pi$) s'arrête ou non. En effet, en fraction,$\Omega_n \leq \Omega < \Omega_n + 2^{-n}$. Exécutez tous les programmes en parallèle et chaque fois$p$ s'arrête, ajouter $2^{-|p|}$ à un comptoir $C$(initialisé à zéro). Finalement$C \geq \Omega_n$ (depuis $C \to \Omega$par le bas). À ce stade, si le programme d'entrée de longueur$n$ ne s'est pas arrêté, alors vous savez qu'il ne s'arrête pas, car sinon $\Omega \geq C + 2^{-n} \geq \Omega_n + 2^{-n}$.

Compte tenu de cela, supposons que pour certains $K>0$ et infiniment $n$, vous pourriez calculer $\Omega_n$ en utilisant $n - K$morceaux. Pour chacun$n$, vous pouvez trouver une chaîne dont la complexité de Kolmogorov est supérieure à $n$, en considérant la sortie de tous les programmes de durée $n$. Pour assez grand$K$, le résultat est un programme de longueur au plus $n$ pour calculer la chaîne dont la complexité de Kolmogorov est supérieure à $n$. Cette contradiction prouve que pour certains$K$, la complexité de Kolmogorov $\Omega_n$ Est au moins $n-K$.

Aléatoire algorithmique de $\Omega$implique, en particulier, que la fréquence de 0 et de 1 dans son expansion binaire tend vers 1/2. En effet, supposons que pour certains (rationnels)$\epsilon > 0$ il existe une infinité de $n$ de telle sorte que la fraction de 1 s $\Omega_n$ est tout au plus $1/2-\epsilon$. Puisqu'il n'y a que$2^{h(1/2-\epsilon)n}$ cordes avec au plus $1/2-\epsilon$ plusieurs 1, nous pouvons compresser $\Omega_n$ sur mesure $h(1/2-\epsilon)n + 2\log n + C_\epsilon$ (la constante $C_\epsilon$ dépend de $\epsilon$ puisque le programme a besoin de savoir $\epsilon$). Cependant, c'est$n - \omega(1)$, contredisant le caractère aléatoire algorithmique de $\Omega$.

Votre erreur est sur la ligne suivante:

Si $\Omega$ est en effet normal, cela signifie que exactement 50% des programmes s'arrêtent et exactement 50% ne s'arrêtent pas.

Nan. Ce n'est pas ce que signifie "normal". Ou, pour le dire autrement: définir$d_0(n)$ être le nombre de bits qui sont un 0, dans le premier $n$ bits de l'expansion base-2 de $\Omega$. Dire que$\Omega$est normal implique que

En d'autres termes, "normal" est une notion asymptotique. Cela signifie que si vous regardez suffisamment loin dans les morceaux de$\Omega$, environ la moitié d'entre eux seront en moyenne des 0. (De même, environ la moitié avec un 1.)

Cependant, cela ne dit rien sur les premiers bits de $\Omega$. Par exemple, il n'y a aucune implication que l'expansion binaire$\Omega$ commence comme 0,01 ... ou à toute autre chose - et il n'y a aucune implication que $\Omega$ est proche de 1/2. $\Omega$peut être proche de 0, ou proche de 1, ou n'importe où entre les deux; cela ne contredit pas le fait d'être normal, et être normal n'implique rien sur la taille$\Omega$ est.