Littérature sur une approche naïve de l'isomorphisme des graphes en inspectant les polynômes des matrices d'adjacence

Je décris une approche de l'isomorphisme graphique qui a probablement des faux positifs, et je suis curieux de savoir s'il existe de la littérature indiquant que cela ne fonctionne pas.

Étant donné deux matrices d'adjacence , une méthode certes naïve de vérification de l'isomorphisme consiste à vérifier si pour chaque ligne de , il existe une ligne de qui est une permutation de la ligne , notée . La question est un peu plus stricte, existe-t-il un "isomorphisme local" pour lequel pour toutes les lignes. La production d'un isomorphisme local peut se faire en temps polynomial en construisant une matrice avec ; puis et$G, H$$u$$G$$v$$G$$u$$G[u] \sim H[v]$$\pi$$G[u] \sim H[\pi(u)]$$n\times n$$A$$A[u,v] = (G[u]\sim H[v])$$G$$H$sont localement isomorphes si a une couverture de cycle, et chaque couverture de cycle est un isomorphisme local.$A$

Tous les graphiques réguliers trompent cette méthode, évidemment, donc une approche un peu moins naïve consiste à calculer les puissances des matrices et à les vérifier pour l'isomorphisme local, en exploitant le fait que vous avez plusieurs matrices en définissant lorsque vous trouvez une puissance telle que , et en vérifiant la couverture du cycle uniquement à la fin. Une approche encore moins naïve consiste à trouver un ensemble de polynômes, en fait un ensemble de circuits arithmétiques, et à définir A [u, v] = 0 lorsque nous trouvons un polynôme p avec p (G) [u] \ not \ sim p ( H) [v] .$G^2, H^2, G^3, H^3,\ldots$$A[u,v] = 0$$G^k[u]\not\sim H^k[v]$$A[u,v]=0$$p$$p(G)[u]\not\sim p(H)[v]$

Cela me semble être une approche incroyablement naïve de l'isomorphisme des graphes, donc je suis sûr que quelqu'un l'a déjà étudié et a prouvé un théorème tel que

Thm Pour une infinité de $n$ il y a $n\times n$ matrices $G, H$ et une permutation $\pi$ telles que pour chaque polynôme $p$ , $p(G)$ et $p(H)$ sont localement isomorphes par cette permutation: $p(G)\overset{\pi}{\sim}p(H)$ .

Question: existe-t-il un tel théorème? J'ai regardé dans la littérature et je ne la trouve pas.

S'il y a une limite sur le degré qui est polynomiale dans telle que pour deux matrices non isomorphes, l'isomorphisme local est réfuté en calculant , ou s'il existe une famille de polynômes facilement calculables , chacun ayant une longueur bornée polynomialement mais éventuellement un degré exponentiel, alors nous avons un algorithme P pour l'isomorphisme du graphe. Si de tels polynômes (ou circuits arithmétiques) sont faciles à deviner, alors nous avons un algorithme coRP . S'il existe toujours une (famille de) circuits arithmétiques pour témoigner de l'isomorphisme non local, alors cela donne un algorithme coNP .$k$$n$$G^1, H^1, \ldots, G^{poly(n)}, H^{poly(n)}$$p_1, \ldots ,p_k$

Notez que nous pouvons éviter le problème que les entrées des matrices de grande puissance deviennent trop grandes en calculant les polynômes sur de petits champs, par exemple en les calculant de petits nombres premiers modulo. Dans un algorithme coNP , le prouveur peut fournir ces nombres premiers.

Oui, il existe un tel théorème, plus ou moins. Il indique essentiellement que la procédure de Weisfeiler-Lehman dimensionnelle subsume (c'est-à-dire domine) toutes les approches combinatoires connues pour tester les isomorphismes de graphes. (Votre proposition concrète doit être subsumée par la procédure Weisfeiler-Lehman à 2 dimensions, si je ne me trompe pas.) Pour chaque k fixe, il existe une classe de contre-exemples à la procédure Weisfeiler-Lehman à k-dimensions connue sous le nom de Cai-Fürer -Construction d'Immmerman.

J'ai d'abord appris les bases de la procédure Weisfeiler-Lehman et de la construction Cai-Fürer-Immmerman

http://users.cecs.anu.edu.au/~pascal/docs/thesis_pascal_schweitzer.pdf

Il y a beaucoup plus à apprendre sur la procédure Weisfeiler-Lehman que décrit ici, mais au moins le traitement de la construction Cai-Fürer-Immmerman est complet et suffisant pour votre objectif. " La procédure Weisfeiler-Lehman ", par Vikraman Arvind est un récent essai bref destiné à être une invitation au sujet.

Peut-être que le point crucial à retenir de ma réponse est que si vous trouviez une méthode de test d'isomorphisme purement combinatoire (comme celle décrite dans votre question), qui n'est pas subsumée (c'est-à-dire dominée) par la procédure de Weisfeiler-Lehman k-dimensionnelle, alors ce serait une percée en soi, indépendamment du fait que la méthode soit réellement utile.