Conditions pour que le graphe bipartite soit planaire sans arêtes contournant les sommets

Un graphe bipartite est planaire s'il n'a pas de mineurs $K_{3, 3}$ ou .$K_5$

Je recherche des conditions nécessaires ou / et suffisantes pour permettre des dessins plans sans arêtes "contournant" des ensembles de sommets. Ce sont des dessins satisfaisants:

1. Tous les sommets d'une partie sont dessinés sur une seule ligne verticale. Les sommets de l'autre partie sont tracés sur une ligne verticale verticale.
2. Les arêtes ne se coupent pas sauf aux sommets.
3. Les bords sont tous dans la bande infinie entre les deux lignes verticales au point 1.

Par exemple, tous les dessins ici, sauf en bas à droite, ne sont pas des exemples. Le graphique en bas à gauche peut être redessiné pour satisfaire les conditions en échangeant les positions de Q et de R. Les deux graphiques supérieurs ne peuvent pas être redessinés pour satisfaire les conditions.

Les deux premiers graphiques sont les seuls obstacles que j'ai pu trouver. Mes questions sont:

1. Ce problème a-t-il un nom?
2. Y a-t-il d'autres obstructions que j'ai ratées?
3. Toutes les indications sur la façon dont je peux prouver que ces deux obstructions (avec tout ce que j'ai manqué), en tant que mineurs bien sûr, sont nécessaires et suffisantes.

Notez que ce n'est pas la même chose qu'être plan extérieur, $K_{2, 2}$ est plan extérieur (peut être dessiné comme un carré) mais il ne peut pas être dessiné pour satisfaire les conditions que je mentionne ci-dessus.

Vos graphiques sont exactement les graphiques de largeur  de chemin ou, de manière équivalente, les forêts dont chacune des composantes est une chenille . Les chenilles ont deux caractérisations pertinentes:$1$

• ce sont les arbres dans lesquels il y a un seul chemin contenant chaque sommet de degré supérieur à  ;$1$

• ce sont les arbres dans lesquels chaque sommet a au plus deux voisins non foliaires.

Lemme 1. Chaque chenille est dans votre classe.

Preuve. Soit une chenille et P = x 1 … x ℓ un chemin le plus long contenant chaque sommet de degré  2 ou plus. Notez que, par maximalité, d ( x 1 ) = d ( x ℓ ) = 1 . Nous pouvons produire un dessin de  G en dessinant d'abord  P comme un zig-zag puis en ajoutant les sommets de degré 1 adjacents à  x i entre x i - 1 et  x $G$$P=x_1\dots x_\ell$$2$$d(x_1)=d(x_\ell)=1$$G$$P$$1$$x_i$$x_{i-1}$ . $x_{i+1}$$\Box$

Lemme 2. Chaque graphique de votre classe est acyclique.$G$

Preuve. Supposons que contient le cycle x 1 y 1 x 2 y 2 … x k y k x 1 et supposons qu'il a un dessin de la forme requise. Wlog, x 2  est supérieur à  x 1 . Mais alors nous devons avoir y 2 au-dessus de  y 1 car sinon, les lignes x 1 y 1 et  x 2 y 2 se croiseraient. Par induction, x i + 1  est supérieur $G$$x_1y_1x_2y_2\dots x_ky_kx_1$$x_2$$x_1$$y_2$$y_1$$x_1y_1$$x_2y_2$$x_{i+1}$ pour tout i ∈ { 1 , … , k - 1 } et de même pour les  y . Mais alors, toute ligne y k x 1 doit soit quitter la région entre les deux colonnes de sommets, soit traverser tous les autres bords du cycle. Cela contredit notre hypothèse selon laquelle le graphique a un dessin approprié. $x_i$$i\in\{1, \dots, k-1\}$$y$$y_kx_1$$\Box$

Lemme 3. Chaque non-chenille connectée n'est pas dans votre classe.

Preuve. Soit un graphe connecté qui n'est pas une chenille. S'il contient un cycle, il n'est pas dans votre classe par le lemme  2 , nous pouvons donc supposer qu'il s'agit d'un arbre. Si ce n'est pas une chenille, elle doit contenir un sommet  x avec des voisins distincts y 1 , y 2 et  y 3 , chacun ayant au moins 2 degrés   .$G$$2$$x$$y_1$$y_2$$y_3$$2$

Supposons que nous ayons un dessin de  avec les propriétés requises. Wlog, y 2  est supérieur à  y 1 et y 3  est supérieur à  y 2 . Soit z ≠ x un voisin de  y 2 . L'arête  y 2 z doit traverser x y 1 ou  x y 3 , ce qui contredit notre hypothèse selon laquelle le graphique a un dessin de la forme requise. $G$$y_2$$y_1$$y_3$$y_2$$z\neq x$$y_2$$y_2z$$xy_1$$xy_3$$\Box$

Théorème. Votre classe de graphiques est exactement la classe de forêts dont chacun des composants est une chenille.

$G$$G$$1$$3$$\Box$

$K_3$$K_{1,3}$

$1$$\Box$

$K_3$$K_4$$K_3$$K_{1,3}$

Donc, la réponse suivante est ce que j'ai trouvé:

Comme vous l'avez déjà mentionné, il n'y a que deux cas possibles qui ne peuvent pas être réorganisés.

$U$$V$

Edit: J'ai mal lu le graphique, désolé pour cela.

$K_{2,2}$

Pour prouver que tout autre sous-graphique est valide, vous pouvez imaginer ce qui suit:

$e$

Le premier cas est que nous avons un nœud qui ne commence ni ne se termine au même nœud que le premier bord. Cela nous laisse sans aucun problème et nous pouvons continuer l'insertion.

$V_1$$V_2$$V_3$$V_4$

$V1-V4$

Encore une fois, nous ne pouvons trouver que trois solutions: Soit nous traçons une connexion de fin, soit répétons l'étape que nous avons déjà effectuée auparavant (en traçant toutes les étapes restantes). Si nous nous retrouvons sur un nœud final, nous pouvons échanger tous les nœuds tracés.

$K_{2,2}$

EDIT: Pour étendre cette preuve au deuxième cas, nous devons considérer les conditions suivantes:

En général, si nous avons un sous-graphe avec au moins un hub (3 connexions ou plus), c'est "plutôt facile".

$\langle k\rangle > 1$

Étant donné que je n'ai moi-même que peu de connaissances dans ce domaine, mais que je souhaite toujours vous proposer une solution possible, je vous ai lié un (espérons-le) article approprié

Si quelqu'un nommait ce problème, je serais intéressé d'apprendre, d'autant plus que je n'ai trouvé cette solution qu'en suivant les réflexions du théorème de Fáry et des sous-graphes bipartites complets.