Réduire le débit maximum à l'appariement bipartite?

Il existe une réduction célèbre et élégante du problème de correspondance bipartite maximale au problème de flux maximal: nous créons un réseau avec un nœud source , un nœud terminal et un nœud pour chaque élément à mettre en correspondance, puis ajoutons des bords appropriés.$s$$t$

Il existe certainement un moyen de réduire le débit maximal à une correspondance bipartite maximale en temps polynomial, car les deux peuvent être résolus individuellement en temps polynomial. Cependant, existe-t-il une "belle" réduction du temps polynomial du débit maximal (dans les graphiques généraux) à la correspondance bipartite maximale?

Curieusement, aucune réduction de ce type n'est connue. Cependant, dans un article récent, Madry (FOCS 2013), a montré comment réduire le débit maximal dans les graphiques de capacité unitaire à (logarithmiquement de nombreuses instances de) correspondance maximale dans les graphiques bipartites.$b$

Dans le cas où vous n'êtes pas familier avec le problème de correspondance maximale , il s'agit d'une généralisation de la correspondance, définie comme suit: l'entrée est un graphique (dans notre cas, un graphique bipartite), G = ( V , E ) , et un ensemble de demandes intégrales pour chaque sommet, la demande du sommet v étant notée b v . Le but est de trouver un plus grand ensemble possible d'arêtes S tel qu'aucun sommet v ne possède plus de b v arêtes dans S incident sur $b$$G=(V,E)$$v$$b_v$$S$$v$$b_v$$S$$v$. C'est un exercice simple pour généraliser la réduction de l'appariement bipartite aux débits maximums et montrer une réduction similaire de l' appariement bipartite aux débits maximums. (Un des) le (s) résultat (s) surprenant (s) de l'article de Madry est que, dans un certain sens, ces problèmes sont équivalents, ce qui donne une réduction simple qui réduit le débit maximal dans les graphiques de capacité unitaire (généralement, les graphiques où la somme des capacités, | u | 1 est linéaire dans le nombre d'arêtes, m ) à un problème de correspondance b dans un graphe avec O ( m ) nœuds, sommets et somme des demandes.$b$$|u|_1$$m$$b$$O(m)$

Si vous êtes intéressé par les détails, reportez-vous à la section 3, jusqu'au théorème 3.1 et à la section 4 (et la preuve de correction dans l'annexe C) de la version ArXiv du document de Madry, ici . Si la terminologie n'est pas évidente, voir la section 2.5 pour un récapitulatif concernant le problème de correspondance , et gardez à l'esprit que u e est la capacité du bord e dans l'instance de flux max d'origine.$b$$u_e$$e$

Voici donc un essai pour répondre à votre question:

Le théorème de Konig sur les appariements bipartites s'est avéré et par conséquent réduit à l'aide du théorème Max-Flow Min-Cut. Le théorème de Konig énonce ce qui suit. Si G est un graphe biparti, alors max {| M | : M est une correspondance} = min {| C | : C est une couverture}. Preuve. La partie max {| M |} ≤ {| C |} est triviale. Soit P et Q les classes de bipartition de G. Nous ajoutons deux sommets, r et s à G, et des arcs rp pour chaque et qs pour chaque q ∈ Q , et un bord direct pq de p ∈ P à q ∈ Q . Il s'agit d'un digraphe G ∗ . On définit les capacités u (rp) = 1, u (pq) = $p\in P$$q \in Q$$p\in P$$q\in Q$$G_{∗}$$\infty$$e \in E$$f_{x}$$G_{∗}$$f_{x}$$pq \in M$$G_{∗}$$\cup (Q \cap R)$$|Q \cap R|$

Je veux dire que c'est tout à mon avis que vous avez posé dans la question et c'est ma réponse potentielle :).