Entropie de Rényi à l'infini ou entropie min

Je lis un article qui fait référence à la limite car n va à l'infinité de l'entropie de Rényi. Il le définit comme${{H}_{n}}\left( X \right)=\dfrac{1}{1-n} \log_2 \left( \sum\limits_{i=1}^{N}{p_{i}^{n}} \right)$. Il indique ensuite que la limite$n\to \infty$ est $-\log_2 \left( p_1 \right)$. J'ai vu un autre article qui utilise le maximum de${{p}_{i}}'s$ au lieu de ${{p}_{1}}$. Je pense que cela fonctionne assez facilement si tous les${{p}_{i}}'s$sont égaux (une distribution uniforme). Je n'ai aucune idée de comment le prouver pour autre chose qu'une distribution uniforme. Quelqu'un peut-il me montrer comment c'est fait?

Supposer $p_1 = \max_i p_i$. Nous avons Par conséquent Comme , tandis que .

$$p_1^n \leq \sum_{i=1}^N p_i^n \leq N p_1^n.$$ $$\frac{n \log p_1 + \log N}{1-n} \leq H_n(X) \leq \frac{n \log p_1}{1-n}.$$ $n \rightarrow \infty$$\log N/(1-n) \rightarrow 0$$n/(1-n) \rightarrow -1$