Résolution de T (n) = 2T (n / 2) + log n avec la méthode de l'arbre de récurrence

Je résolvais des relations de récurrence. La première relation de récurrence était

$T(n)=2T(n/2)+n$

La solution de celui-ci peut être trouvée par le théorème maître ou la méthode de l'arbre de récurrence. L'arbre de récurrence serait quelque chose comme ceci:

La solution serait:

$T(n)=\underbrace{n+n+n+...+n}_{\log_2{n}=k \text{ times}}=\Theta(n \log{n})$

Ensuite, j'ai rencontré le problème suivant:

$T(n)=2T(n/2)+\log{n}$

Mon livre montre que par le théorème maître ou même par une approche de substitution, cette récurrence a la solution . Il a la même structure que l'arborescence ci-dessus, à la seule différence qu'il effectue à chaque appel un travail . Cependant, je ne suis pas en mesure d'utiliser la même approche ci-dessus pour ce problème.$\Theta(n)$$\log{n}$

Le terme non récursif de la relation de récurrence est le travail de fusion de solutions de sous-problèmes. Le niveau$k$ de votre arbre de récurrence (binaire) contient $2^k$ sous-problèmes avec taille $\frac {n}{2^k}$, vous devez donc d'abord trouver le travail total au niveau $k$ puis de résumer ce travail sur tous les niveaux d'arbre.

Par exemple, si le travail est constant $C$, puis le travail total au niveau $k$ sera $2^k \cdot C$et le temps total $T(n)$ sera donnée par la somme suivante:

$$T(n) = \sum_{k=1}^{\log_2{n}}2^k C = C(2^{\log_2{n}+1}-2) = \Theta(n)$$

Cependant, si le travail augmente logarithmiquement avec la taille du problème, vous devrez calculer avec précision la solution. La série serait la suivante:

$$T(n)=\log_2{n}+\underbrace{2\log_2(\frac {n} {2})+4\log_2(\frac {n} {4})+8\log_2(\frac {n} {8}) + ....}_{\log_2{n} \text{ times}}$$

Ce sera une somme assez complexe:

$$T(n)=\log_2{n}+\sum_{k=1}^{\log_2{n}}2^k \log_2(\frac {n} {2^k})$$

Je dénote temporairement $m=\log_2{n}$ et simplifiez la sommation ci-dessus:

$$\sum_{k=1}^{m}2^k \log_2(\frac {n} {2^k})=\\=\sum_{k=1}^{m}2^k(\log_2{n}-k)=\\=\log_2{n}\sum_{k=1}^{m}2^k-\sum_{k=1}^{m}k2^k=\\=\log_2{n}(2^{m+1}-2)-(m2^{m+1}-2^{m+1}+2)$$

Ici, j'ai utilisé une formule pour le $\sum_{k=1}^{m}k2^k$somme du calculateur d'algèbre symbolique en ligne Wolfram | Alpha . Ensuite, nous devons remplacer$m$ de retour par $\log_2{n}$:

$$T(n)=\log_2{n}+2n\log_2{n}-2\log_2{n}-2n\log_2{n}+2n-2$$ $$=2n-\log_2{n}-2=\Theta(n)$$

QED