Version constructive de la décidabilité?

Aujourd'hui au déjeuner, j'ai abordé cette question avec mes collègues, et à ma grande surprise, l'argument de Jeff E. selon lequel le problème est décidable ne les a pas convaincus ( voici un article étroitement lié sur mathoverflow). Une déclaration de problème plus facile à expliquer ("est P = NP?") Est également décidable: oui ou non, et donc l'une des deux MT qui sortent toujours ces réponses décide du problème. Formellement, nous pouvons décider de l'ensemble : soit la machine qui sort que pour l'entrée et sinon décide, soit la machine qui le fait pour l'entrée .$S :=\{|\{P, NP\}|\}$$1$$1$$0$$2$

L'un d'eux se résume à cette objection: si c'est le degré de faiblesse du critère de décidabilité - ce qui implique que chaque question que nous pouvons formaliser en tant que langage que nous pouvons montrer fini est décidable - alors nous devons formaliser un critère qui ne rend aucun problème avec un nombre fini de réponses possibles formalisables de cette manière décidables. Alors que ce qui suit est peut-être un critère plus fort, j'ai suggéré que cela pourrait peut-être être précisé en exigeant que la décidabilité devrait dépendre de la capacité de montrer une MT, proposant essentiellement une vision intuitionniste de la question (que je ne penche pas vers - ni faire l'un de mes collègues, tous acceptent la loi du milieu exclu).

Les gens ont-ils formalisé et éventuellement étudié une théorie constructive de la décidabilité?

Je pense que la question que vous essayez de poser est "la théorie de la calculabilité est-elle constructive?". Et c'est une question intéressante, comme vous pouvez le voir par cette discussion sur la liste de diffusion Foundations of Mathematics.

Sans surprise, il a été considéré, car beaucoup de théorie de la récursivité a été développée par des personnes ayant des sensibilités constructives et vice versa. Voir par exemple le livre de Besson et la vénérable introduction à la métamathématique . Il est assez clair que les deux premiers chapitres de la théorie de la récursivité survivent à un environnement constructif avec des changements minimes: par exemple, le théorème snm, le théorème de Rice ou les théorèmes de récursion de Kleene survivent inchangés.

Cependant, après les premiers chapitres, les choses se compliquent un peu. En particulier, les niveaux supérieurs de la hiérarchie arithmétique sont généralement définis par une notion de vérité. En particulier, les théorèmes largement utilisés tels que le théorème de base faible semblent être explicitement non constructifs.

Une réponse peut-être plus pragmatique, cependant, est que ces "langues paradoxalement calculables" ne sont qu'une idiosyncrasie, qui peut (et a!) Été étudiée en détail, comme des ensembles de réels non mesurables, mais cela une fois que la surprise initiale a été surmonter, on peut passer à des choses plus intéressantes.

Dans la logique classique, chaque énoncé est vrai ou faux dans un modèle donné. Par exemple, toute déclaration de premier ordre sur les nombres naturels est vraie ou fausse dans le "monde réel" (connu dans ce contexte sous le nom d' arithmétique vraie ). Qu'en est-il alors du théorème d'incomplétude de Gödel? Il indique simplement qu'aucune axiomatisation récursivement énumérable de la vraie arithmétique n'est complète.

$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$jusqu'à ce qu'un soit trouvé, puis procède en conséquence. Nous pouvons prouver que cette machine accepte votre langue, même si nous ne savons toujours pas quelle est exactement cette langue!

$\mathsf{P} \stackrel{?}{=} \mathsf{NP}$

(avertissement, une réponse floue à une question floue qui correspond peut-être mieux à la théorie ). la constructibilité est un «gros problème» en mathématiques théoriques, mais elle apparaît surtout dans des contextes continus tels que le paradoxe semi - célèbre Banach-Tarski . ces paradoxes ne semblent généralement pas s'être manifestés jusqu'à présent dans des "CS " plus discrets " . alors quelle est (l'analogique / parallèle de) la constructibilité dans CS? la réponse ne semble pas si claire. c'est un concept originaire de la recherche en mathématiques plus que CS et les deux ne semblent pas trop liés sur ce point particulier "jusqu'à présent" .

une réponse est que la théorie de la décidabilité semble en réalité être une variation de la constructibilité, c'est-à-dire qu'il s'agit d'une méthode stricte de détermination des ensembles calculables qui semble être étroitement liée.

la constructibilité dans l'âme traite de certaines questions d '"indépendance vis-à-vis de ZFC" et ces domaines sont examinés en détail dans cet article par Aaronson écrit P vs NP, P vs NP est-il formellement indépendant? .

cela ne montre pas vraiment que les "paradoxes" semblent pointer vers des problèmes de constructibilité, mais on pourrait prendre cela comme un guide approximatif pour une analogie approximative comme dans le document d'Aaronsons où il considère par exemple les résultats d'oracle qui semblent avoir une saveur "paradoxale" en particulier Baker Gill Solovay 1975 de sorte que les deux oracles existent tel que P ^A = NP ^A et P ^B ≠ NP ^B . d'autres théorèmes comme thms sont les théorèmes de Blum gap et d' accélération .

est-ce simplement une coïncidence si CS se concentre sur les fonctions constructibles "temps / espace" dans ses théorèmes fondamentaux de hiérarchie temps / espace? (qui exclut alors les paradoxes de type Blum presque "par conception" ?)

une autre réponse est que cela fait l'objet d'une enquête / recherche active, par exemple comme dans cette constatation. la constructibilité est connue pour être liée aux "grands cardinaux" en mathématiques: Stratégies gagnantes pour les jeux infinis: des grands cardinaux à l'informatique / Ressayre.

En utilisant le grand axiome cardinal des «objets tranchants», Martin a prouvé la détermination analytique: l'existence d'une stratégie gagnante pour l'un des joueurs dans chaque jeu infini d'informations parfaites entre deux joueurs, à condition que l'ensemble gagnant de l'un des joueurs se trouve être une analyse une. Je modifie et complète sa preuve pour obtenir une nouvelle preuve du théorème de Rabin, Buechi-Landweber, Gurevich-Harrington de la détermination des états finis: existence d'une stratégie gagnante calculée par une machine à états finis, lorsque les sets gagnants du joueur sont eux-mêmes finis état accepté.