Cast en booléen, pour une programmation linéaire entière

Je veux exprimer la contrainte suivante, dans un programme linéaire entier:

y = {\begin{cases} 0 & if x = 0 \\ 1 & if x \neq 0. \end{cases}

$y = \begin{cases} 0 &\text{if } x=0\\ 1 &\text{if } x\ne 0. \end{cases}$

J'ai déjà les variables entières et on me promet que . Comment puis-je exprimer la contrainte ci-dessus, sous une forme adaptée à une utilisation avec un solveur de programmation linéaire entier? $x,y$ $-100 \le x \le 100$

Cela nécessitera probablement l'introduction de variables supplémentaires. Quelles nouvelles variables et contraintes dois-je ajouter? Peut-il être fait proprement avec une nouvelle variable? Deux?

De manière équivalente, cela demande comment faire respecter la contrainte

y \neq 0 if and only if x \neq 0.

$y \ne 0 \text{ if and only if } x \ne 0.$

dans le contexte où j'ai déjà des contraintes qui impliquent et . $|x| \le 100$ $0 \le y \le 1$

(Mon objectif est de corriger une erreur dans https://cs.stackexchange.com/a/12118/755 .)

linear-programming integer-programming

— DW
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Qu'as-tu essayé? Avez-vous essayé de travailler à travers quelques exemples pour voir si vous voyez un motif? Si oui, avez-vous essayé de faire une supposition, puis avez-vous essayé de le prouver?

— Brika

Il h! Je vois ce que tu as fait là-bas , @Brika. Si vous êtes curieux de voir ce que j'ai essayé, voyez ici ainsi que cette explication de la raison pour laquelle cela était mal . Si vous voulez voir ma prochaine tentative, voyez ma réponse . Merci d'avoir lu mes anciennes questions, et si elles peuvent être améliorées pour l'avenir, j'aimerais entendre toutes les suggestions que vous pourriez avoir!

— DW

C'est très bien. ;)

— Brika

Réponses:

Je pense que je peux le faire avec une variable binaire supplémentaire : $\delta \in \{0,1\}$

- 100 y \leq x \leq 100 y

$-100y \le x \le 100 y$

0.001 y - 100.001 δ \leq x \leq - 0.001 y + 100.001 (1 - δ)

$0.001y-100.001\delta \le x \le -0.001y+100.001 (1-\delta)$

Mettre à jour

Cela suppose que est une variable continue . Si nous limitons à une valeur entière , alors la deuxième contrainte peut être simplifiée en: $x$ $x$

y - 101 δ \leq x \leq - y + 101 (1 - δ)

$y-101\delta \le x \le -y+101 (1-\delta)$

— Erwin Kalvelagen
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J'ai vérifié cela correctement en le testant de manière exhaustive avec un petit programme. Merci pour la solution!

— DW

@ErwinKalvelagen, pourriez-vous s'il vous plaît expliquer votre logique avec la variable binaire delta, pour un cas plus général, par exemple, si y = {a: x> 0, b: x <0}.

— Nick

@Nick La variable binaire est utilisée pour modéliser une construction 'OU'. Voir ici pour une réponse à votre question.

— Erwin Kalvelagen

@ErwinKalvelagen, la grande réponse, j'ai essayé d'appliquer l'approche de votre à ma question ici cs.stackexchange.com/questions/64794/… .

— Nick

@GonzaloSolera En fait, j'avais tort: j'ai supposé que était une variable continue. En effet, lorsque est une valeur entière, nous pouvons déplacer de 0,001 à 1 comme vous l'avez suggéré.

x

$x$

x

$x$

— Erwin Kalvelagen

Ce qui suit n'est pas joli du tout, mais cela fonctionne. Soit , dans le cas spécifique de la question. Ensuite, nous avons les contraintes suivantes. $0 \leq x \leq N$ $N=100$

$0 \leq z_1, z_2, z \leq 1$
$x - N(1-z_1) \leq 0$
$-x -Nz_1 \leq -1$
$-x -N(1-z_2) \leq 0$
$x -Nz_2 \leq -1$
$z_1 + z_2 - 1 \leq z$
$z \leq z_1$
$z \leq z_2$

$z_1 = 1 \iff x \leq 0$ $z_2 = 1 \iff x \geq 0$ $z = z_1 \land z_2$

— Pramod
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z = 1 - y

$z=1-y$

x = 100

$x=100$

y = 1

$y=1$

z = 0

$z=0$

z_{1}, z_{2}

$z_1,z_2$

x - N z_{2} \leq - 1

$x-Nz_2 \le -1$

x < N

$x<N$

x \leq 99

$x \le 99$

x = 99

$x=99$

y = 1

$y=1$

y = 0

$y=0$

x

$x$

- N \leq x \leq N

$-N \le x \le N$

0 \leq x \leq N

$0 \le x \le N$

$t,u$ $t=1$ $x \ge 0$ $u=1$ $x \le 0$ $y=\neg(t \land u)$

\begin{aligned} 0 & \leq t, u, y \leq 1 \\ 1 + x & \leq 101 t \leq 101 + x \\ 1 - x & \leq 101 u \leq 101 - x \\ t + u - 1 & \leq 1 - y \\ 1 - y & \leq t \\ 1 - y & \leq u \end{aligned}

$\begin{align*} 0 &\le t,u,y \le 1\\ 1+x &\le 101t \le 101 + x\\ 1-x &\le 101u \le 101-x\\ t+u-1 &\le 1-y\\ 1-y &\le t\\ 1-y &\le u \end{align*}$

— DW
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x \leq 99

$x \leq 99$

x \leq 100

$x \leq 100$

x \geq - 99

$x \geq -99$

@TLW, merci d'avoir attrapé ça! J'ai modifié ma réponse pour corriger le bogue. Je l'ai testé de manière exhaustive avec un petit programme et je pense qu'il devrait être correct maintenant.

— DW