L'entrée dans une machine de Turing peut-elle être de longueur infinie?


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En considérant uniquement l'alphabet , les chaînes qui peuvent être données en entrée aux machines de Turing proviennent de l'ensemble . Mais est-il logique que l'entrée soit une chaîne binaire infinie? Par exemple, si une machine Turing accepte toutes les chaînes commençant par un 0, une chaîne binaire de zéros infinis appartient-elle également au langage accepté par la machine Turing?Σ={0,1}Σ

Réponses:


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L'exécution d'une machine Turing sur une bande initialisée avec une chaîne infinie ne pose aucun problème, bien que cela ne soit généralement pas pris en compte. Cependant, nous avons toujours besoin que la machine se termine en temps fini. Il existe également des notions de calcul en temps infini, qui peuvent être appropriées ici.


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Terminer les calculs en temps fini alors que l'entrée est infinie semble être un défi difficile.
Mast

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@Mast Pas nécessairement. Vous ne pouvez tout simplement pas vous permettre de lire l'intégralité de l'entrée.
Yuval Filmus

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@JulesMazur Le mot-clé est l' hypercalcul .
Yuval Filmus

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@JulesMazur Vous n'avez pas nécessairement besoin d'hypercalcul. Le programme peut simplement continuer à écrire sur une bande de sortie, et le résultat converge vers une chaîne infinie comme dans une machine de Turing de type II.
jkabrg

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Je pense que vous rencontrez des difficultés si vous autorisez les chaînes infinies en entrée. En particulier, l'ensemble des entrées n'est plus dénombrable, ce qui casse plusieurs preuves.
Taemyr

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C'est l'une des caractéristiques des machines de Turing de type 2 . Ils sont utilisés, entre autres, pour analyser la calculabilité des fonctions entre des nombres réels. Encore plus intéressant, ils sont utilisés pour analyser la calculabilité des opérateurs comme l'intégration.

Fait intéressant: l'intégration numérique exacte est calculable.


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Pour répondre à la question "est-ce que cela a du sens", cela peut même être utile si vous envisagez des machines Turing qui fonctionnent en temps limité.

Plus précisément, c'est une façon très utile de penser aux machines de Turing sans préfixe . Ce sont des machines dont le jeu d'entrées d'arrêt est sans préfixe; c'est-à-dire qu'aucune entrée qui provoque l'arrêt de la machine n'est le préfixe d'une autre. Celles-ci sont équivalentes en puissance aux machines Turing ordinaires, mais seulement si nous permettons à la machine Turing de décider de ses propres entrées d'arrêt: ie. l'utilisateur n'a aucune idée sur quelles entrées la machine va s'arrêter (et c'est une propriété indécidable).

Une façon de voir cela est comme une machine de Turing ordinaire avec une bande d'entrée infinie unidirectionnelle avec une tête de bande qui ne peut pas reculer. L'utilisateur remplit la bande de bits et exécute la machine. Il s'agit par définition d'une machine de Turing sans préfixe. Si la machine s'arrête, elle n'a dû lire qu'un nombre fini de bits, et aucun préfixe de cette partie de la bande ne peut être un programme, sinon la machine s'y serait arrêtée.

C'est un bon moyen de parler des distributions de probabilité calculables: l'utilisateur remplit la bande de bits aléatoires (la source de hasard de la machine) et la machine crache une chaîne de bits aléatoire. L'ensemble de toutes ces machines de Turing correspond à l'ensemble des distributions calculables (en particulier les semi-mesures semi-calculables inférieures).

L'avantage de l'entrée infinie est que nous n'avons pas à spécifier ce que fait la machine si nous lui donnons le préfixe d'un programme d'arrêt, c'est-à-dire. la machine essaie de lire au-delà de la fin de l'entrée que nous lui avons donnée.


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Même si vous ne disposez pas d'une telle bande, vous pouvez utiliser une autre machine Turing pour la produire.

Une machine Turing a accès à la bande de données vide mais infinie (ou certaines sources disent que "la machine a juste une petite fabrique de bandes intégrée"). Il peut donc l'initialiser avec un modèle de données programmable, puis la bande peut être consommée comme entrée d'une autre machine Turing.

Bien sûr, si votre contenu est tel qu'aucun algorithme n'a pu être défini pour le produire, ce contenu ne peut pas être créé par la machine Turing.


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Je ne sais pas comment cela répond à la question. Dans tous les cas, toutes les séquences infinies ne peuvent pas être générées par les machines Turing, car il existe un nombre incalculable de chaînes infinies sur n'importe quel alphabet avec au moins deux symboles, alors qu'il n'y a que de nombreuses machines Turing et d'innombrables entrées finies pour les semer.
David Richerby

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Dans certains cas, une entrée infinie peut être envisagée et réduite à l'action d'une machine de Turing "standard". Par exemple, considérons un motif fini à répétition infinie spécifié sur l'entrée. Une machine de Turing peut être créée pour garder une trace de la quantité de ce motif infini qui a été modifiée par les actions actuelles de la tête de bande en utilisant une quantité limitée de mémoire / stockage de bande. En d'autres termes, il "simule de manière équivalente" un motif de taille infinie sur la bande.

Un autre cas où une «entrée infinie» a été envisagée est l'analyse de l' équivalence / exhaustivité de Turing des automates cellulaires. dans une preuve complexe, Cook a introduit un concept désormais appelé par certains «équivalence de Turing faible» dans la conversion des opérations de règles CA 110 en opérations de machine de Turing qui démarrent sur une bande initiale spécifiée à l'infini mais avec des motifs de taille finie (répétitifs).


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Les termes «entrée infinie» et «encodage fini d'un objet infini» sont clairement distincts et élémentaires (chaque langage régulier infini avec son DFA minimal en est un exemple). Il ne faut pas les confondre ici.
Raphael

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oui Les DFA peuvent être utilisés pour le codage décrit. comme esquissée une bande avec un codage fini d'une chaîne de longueur infinie (via des motifs finis répétitifs) est à la fois différente / similaire en capacité à une bande avec uniquement des chaînes finies.
vzn

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Dans les langages formels, une chaîne est, par définition, une séquence finie de symboles. Une machine de Turing classique a une bande infinie avec une chaîne d'entrée finie. En tant que tel, bien qu'il n'y ait pas de limite à la durée de l'entrée, elle ne peut pas être infinie.

Cela dit, il existe de nombreuses machines alternatives qui fonctionnent de manière similaire à une MT mais avec des séquences d'entrée infinies.

La pertinence d'une entrée de longueur infinie dépend de l'objectif. Strictement dans le contexte des machines de Turing, cela n'a aucun sens (car ce n'est pas possible), mais dans le contexte des machines de type Turing, cela a du sens et il a de nombreuses applications.


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Il est parfaitement possible d'avoir des chaînes infinies. En effet, il existe toute une branche de la théorie des automates qui traite de cette situation exacte. Et, étant donné que le seul changement nécessaire à la définition des machines de Turing pour leur permettre de traiter des entrées infinies est de supprimer la condition qui dit que l'entrée doit être finie, je ne suis pas d'accord qu'il "n'a aucun sens" de parler des machines de Turing et cordes infinies.
David Richerby

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@DavidRicherby: nous semblons être d'accord. N'hésitez pas à me faire savoir comment je peux reformuler le dernier paragraphe pour préciser que ce n'est que strictement dans le contexte des machines de Turing originales, classiques et non altérées (où les entrées sont par définition finies), qu'il n'a aucun sens de parler d'entrée de longueur infinie. Dès que nous supprimons la condition, ce n'est plus strictement une MT, mais (ce que j'ai appelé) une machine de type Turing.
tout

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Je ne suis pas d'accord que l'appareil cesse d'être une machine de Turing simplement parce que vous le démarrez avec des trucs infinis sur la bande. La machine est toujours la même machine; vous venez de changer les conditions initiales. Les définitions de la façon dont les machines de Turing sont liées aux langages de chaînes finies (par exemple, les langages décidables ou semi-décidables) sont en termes d'entrées finies mais cela ne signifie pas que la machine en a besoin. De même, votre ordinateur ne cesserait pas d'être un ordinateur si vous placez une pile infinie de CD-ROM à côté.
David Richerby

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@DavidRicherby Eh bien, techniquement, une machine de Turing est une machine qui prend une entrée finie. Si vous modifiez cette restriction dans la définition, vous définissez autre chose. L'idée derrière l'informatique est toujours la même, dans un certain sens, mais comment exprimez-vous la complexité maintenant? Problèmes très différents.
Raphael
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