Polynôme chromatique d'un carré

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Prenons un carré, ABCD. Il m'a semblé intuitivement que son polynôme chromatique est où il y a des couleurs disponibles. $\lambda(\lambda - 1)(\lambda - 1)(\lambda - 2)$ $\lambda$

C'est-à-dire qu'il y a façons de choisir une couleur pour A, il y a façons pour les couleurs pour B et D à choisir (B et D sont adjacentes à A) et façons pour les couleurs pour que C soit choisi. $\lambda$ $\lambda - 1$ $\lambda - 2$

Cependant, en utilisant le théorème de décomposition (diapositive 47, exemple 11.33) et en décomposant le carré en un chemin de longueur 3 et un triangle, montre que mon raisonnement initial est faux.

Pourriez-vous me dire où je me trompe dans ma façon de penser.

graph-theory colorings

— Abhijith Madhav
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Vous devez vous rappeler que les sommets diagonaux les uns des autres peuvent être colorés de la même manière! Votre formule n'en tient pas compte. Nous pouvons trouver le nombre chromatique d'un graphe via le principe d'inclusion-exclusion. Il s'agit d'une technique de comptage très générale qui nous permet de compter des structures complexes, si nous pouvons prouver certaines limites sur certains sous-ensembles.

L'idée principale est que nous comptons toutes les façons possibles pour une propriété. Ensuite, nous supprimons certains «mauvais» éléments. Cependant, nous avons peut-être trop supprimé et nous devons rajouter de "bons" éléments. Cela va et vient jusqu'à ce que nous ayons parcouru tous les sous-ensembles.

Le principe d'inclusion-exclusion nous dit que, étant donné un ensemble de base , le nombre d'éléments de qui ne se trouvent dans aucun des sous-ensembles est $|X|=n$ $X$ $A_i$

\sum_{I \subseteq [n]} (- 1)^{| I |} | A_{I} |, where I is the set of indices in X and A_{I} = ⋂_{i \in I} A_{i}

$\sum_{I \subseteq [n]} (-1)^{|I|}|A_I| \text{, where } \\ I \text{ is the set of indices in } X \text{ and } A_I = \bigcap_{i \in I} A_i$

Soit le nombre de couleurs, et soit l'ensemble de toutes les colorations possibles (ie, ), et soit $\lambda$ $X$ $|X| = \lambda^4$

A_{e} = {coloring : e = (i, j) \in E, color (i) = color (j)}

$A_{e} = \{\text{coloring} : e=(i,j) \in E, \text{color}(i) = \text{color}(j) \}$

Avant d'obtenir notre polynôme final, nous devons compter la taille de nos ensembles et la taille de tous les sous-ensembles qui se croisent. $A_{e}$

Observez que . Cela est dû au fait que nous colorions simplement mais que nous choisissons toujours les mêmes couleurs pour les sommets voisins. À l'avenir, nous avons, $|A_{12}| = |A_{23}| = |A_{34}| = |A_{41}| = \lambda^3$ $G$

$|A_{12} \cap A_{23} | = |A_{23} \cap A_{34} | = |A_{34} \cap A_{41}| = |A_{41} \cap A_{12}| = |A_{12} \cap A_{34}| = |A_{41} \cap A_{23}| = \lambda^2$

Je ne vais pas lister chaque 3 sets, mais ils ont tous le même nombre. . Et enfin, . Maintenant, collectons nos conditions et additionnons. $|A_e \cap A_{e'} \cap A_{e''}| = \lambda$ $|A_{12} \cap A_{23} \cap A_{34} \cap A_{41}| = \lambda$

λ^{4} - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 4 λ + λ = λ^{4} - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 3 λ

$\lambda^4 - 4\lambda^3 + 6\lambda^2 - 4\lambda + \lambda = \lambda^4 - 4\lambda^3 + 6\lambda^2 - 3\lambda$

Maintenant, compter avec inclusion-exclusion pour ce problème n'était pas si mal parce que nous avions un simple cycle de 4. Si le graphique avait plus de structure, il deviendrait rapidement ennuyeux de déterminer chaque taille d'intersection pour toutes les intersections possibles.

— Nicholas Mancuso
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La réponse de Nicholas ci - dessus et celle-ci m'a aidé à voir la faille dans ma pensée. J'ai pensé à développer plus précisément celui de Nicolas,

Vous devez vous rappeler que les sommets diagonaux les uns des autres peuvent être colorés de la même manière

et obtenir également le polynôme chromatique en ajustant mon mauvais raisonnement.

J'avais d'abord pensé qu'il y avait façons de choisir les couleurs pour C. Le "-2" représentait les couleurs différentes de celles de B et D. Ce à quoi je ne pensais pas, c'est que B et D pouvaient avoir le mêmes couleurs, auquel cas il y aurait juste façon de choisir les couleurs pour C. Ainsi $\lambda - 2$ $\lambda - 1$

$P(ABCD, \lambda)$ = Nombre de façons de colorer correctement ABCD lorsque B et D sont de la même couleur + Nombre de façons de colorer correctement ABCD lorsque B et D sont colorés différemment
= $λ(λ−1)(1)(λ−1) + λ(λ−1)(λ−2)(λ−2)$

— Abhijith Madhav
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