Pourquoi le point le moins fixe (lfp) est-il important dans l'analyse de programme

J'essaie d'avoir une vue d'ensemble de l'importance du point le moins fixe (lfp) dans l'analyse de programme. Par exemple, l'interprétation abstraite semble utiliser l'existence de lfp. De nombreux documents de recherche sur l'analyse de programme se concentrent également fortement sur la recherche du point le moins fixe.

Plus précisément, cet article dans wikipedia: le théorème de Knaster-Tarski mentionne que lfp est utilisé pour définir la sémantique du programme.

Pourquoi c'est important? Tout exemple simple m'aide. (J'essaie d'avoir une vue d'ensemble).

ÉDITER

Je pense que ma formulation est incorrecte. Je ne conteste pas l'importance du lfp. Ma question exacte (débutant) est: en quoi l'informatique lfp aide-t-elle dans l'analyse de programme? Par exemple, pourquoi / comment l'interprétation abstraite utilise lfp? que se passe-t-il s'il n'y a pas de lfp dans le domaine abstrait?

J'espère que ma question est plus concrète maintenant.

Toute forme de récursivité ou d'itération dans la programmation est en fait un point fixe. Par exemple, une whileboucle est caractérisée par l'équation

while b do c done  ≡  if b then (c ; while b do c done)

c'est-à-dire que while b do c donec'est une solution Wde l'équation

W  ≡  Φ(W)

où Φ(x) ≡ if b then (c ; x). Mais que se passe-t-il si Φa de nombreux points fixes? Laquelle correspond à la whileboucle? L'une des informations de base de la sémantique de programmation est qu'il s'agit du point le moins fixe.

Prenons un exemple simple, cette récursion temporelle. J'utiliserai Haskell. La fonction récursive fdéfinie par

f :: a -> a
f x = f x

est la fonction partout non définie, car elle s'exécute pour toujours. Nous pouvons réécrire cette définition d'une manière plus inhabituelle (mais cela fonctionne toujours dans Haskell) comme

f :: a -> a
f = f

Il en fva de même pour un point fixe de la fonction d'identité:

f ≡ id f

Mais chaque fonction est un point fixe de id. Dans l'ordre habituel de la théorie des domaines, "non défini" est le moindre élément. Et en effet, notre fonction fest la fonction partout non définie.

while$n$$x_1, \ldots, x_n$$V$$V^n \to V^n \cup \{\bot\}$$(v_1, \ldots, v_n) \in V^n$$\bot$$V^n$$V^n \to V^n \cup \{\bot\}$

• $V^n \cup \{\bot\}$$\bot$$V^n$$V^n \to V^n \cup \{\bot\}$
• $\bot$while true do skip done
• chaque séquence croissante a un supremum

Juste pour vous donner une idée de comment cela fonctionne, la sémantique du programme

x_1 := e

$(v_1, \ldots, v_n) \in V^n$$v_e$e$(v_1, \ldots, v_n)$$(v_e, v_2, \ldots, v_n)$

Voici l'intuition: les points les moins fixes vous aident à analyser les boucles.

L'analyse de programme implique l'exécution du programme - mais en supprimant certains détails des données. C'est tout bon. L'abstraction aide l'analyse à aller plus vite que l'exécution réelle du programme, car elle vous permet d'ignorer les aspects qui ne vous intéressent pas. Par exemple, c'est ainsi que fonctionne l'interprétation abstraite: elle simule essentiellement l'exécution du programme, mais ne garde qu'une trace d'informations partielles sur l'état du programme.

Le plus délicat, c'est quand vous arrivez à une boucle. La boucle peut s'exécuter plusieurs fois. En règle générale, vous ne voulez pas que votre analyse de programme doive exécuter toutes ces itérations de la boucle, car alors l'analyse de programme prendra beaucoup de temps ... ou pourrait même ne pas se terminer. C'est donc là que vous utilisez un point le moins fixe. Le point le moins fixe caractérise fondamentalement ce que vous pouvez dire avec certitude sera vrai après la fin de la boucle, si vous ne savez pas combien de fois la boucle va itérer.

C'est à cela que sert le point le moins fixe. Comme les boucles sont présentes tout au long des programmes, les points les moins fixes sont utilisés tout au long de l'analyse du programme. Les moindres points fixes sont importants car les boucles sont partout, et il est important de pouvoir analyser les boucles.

Soit dit en passant, la récursivité et la récurrence mutuelle ne sont qu'une autre forme de boucle - elles ont donc également tendance à être gérées avec un point le moins fixe.