Le castor occupé est-il la fonction à la croissance la plus rapide connue de l'homme?

Je viens de poser cette question intéressante. Quelle est la fonction connaissant la croissance la plus rapide connue de l'homme? Est-ce un castor occupé ?

Nous connaissons des fonctions telles que $x^2$ , mais cette fonction croît plus lentement que $2^x$ , qui à son tour croît plus lentement que $x!$, qui à son tour croît plus lentement que $x^x$ . On peut alors combiner des fonctions, pour avoir $(x^x)!$qui croît plus vite que $x^x$ , et ainsi de suite.

On arrive ensuite à des fonctions récursives comme la fonction $A(x,x)$ qui croît beaucoup plus vite que $(x^x)!$. Ensuite, les gens réfléchissent à la fonction castor occupé $B(x)$qui se développe encore plus rapidement que la fonction d'Ackermann.

À ce stade, je n'ai pas entendu parler d'autres fonctions qui se développent plus rapidement que le castor occupé. Cela signifie-t-il qu'il n'y a pas d'autres fonctions qui peuvent se développer plus rapidement que le castor occupé? (Mis à part la factorielle de et comme , etc.)$B(x)$$A(B(x), B(x))$

La fonction castor occupé croît plus rapidement que n'importe quelle fonction calculable . Cependant, il peut être calculé par une machine de Turing qui a eu accès à un oracle pour résoudre le problème d'arrêt. Vous pouvez ensuite définir une fonction de castor occupé du "second ordre", qui se développe plus rapidement que n'importe quelle fonction qui peut être calculée même par n'importe quelle machine de Turing avec un oracle pour le problème d'arrêt. Vous pouvez continuer à le faire pour toujours, en établissant une hiérarchie de fonctions de castor occupés de plus en plus rapides.

Voir l'excellent essai de Scott Aaronson sur ce sujet, Who Can Name the Bigger Number? .

Il n'y a rien de tel que «la fonction à la croissance la plus rapide». En fait, il n'y a même pas de séquence de fonctions à croissance rapide. Cela a déjà été démontré par Hausdorff. Étant donné deux fonctions , disons que g croît plus vite que f si lim n → ∞ g ( n $f,g\colon \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$$g$$f$ Étant donné une fonctionf, la fonctiong suivantecroît plus rapidement quef:g(n)=nf(n). Étant donné une séquence de fonctionsfn, la fonctiong suivantecroît plus rapidement que toutes:g(n)=nmaxm≤nfm(n)

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{g(n)}{f(n)} = \infty.$$ $f$$g$$f$ $$g(n) = nf(n).$$ $f_n$$g$ $$g(n) = n \max_{m \leq n} f_m(n).$$ Une question naturelle à se poser est de savoir s'il existe une «échelle» de fonctions à croissance rapide. Il s'agit d'un ensemble bien ordonné de fonctions qui est "cofinal", c'est-à-dire que pour toute fonction f , il existe une fonction g α à croissance plus rapide . (Au lieu d'un ensemble bien ordonné, nous pouvons parler de manière équivalente d'une chaîne, c'est-à-dire que deux fonctions de l'ensemble doivent être comparables.) L'existence d'une échelle est indépendante de ZFC: en supposant CH, il y a une échelle, alors que dans le modèle de Cohen qui falsifie CH (en ajoutant real 1 réels), aucune échelle n'existe.$g_\alpha$$f$$g_\alpha$$\omega_1$

D'autres réponses répondent directement à la question. Pour un contexte plus approfondi, cet article de Lafitte sur le sujet examine le contexte plus large des fonctions de type castor occupées. Il présente également des résultats et des théorèmes qui placent l'idée dans un cadre plus général. Il montre que (officieusement) les "fonctions de type castor occupés" ont un lien étroit avec les phénomènes d'incomplétude de Chaitin (Théorème 2.1). Cela montre également qu'il existe des théories qui ne sont pas suffisamment «puissantes» pour «comprendre» les fonctions de type castor, c'est-à-dire qu'elles ne sont pas prouvables dans ces théories en raison de l'incomplétude liée à Godel. Il montre l'idée de supposer des résultats de type castor occupés comme axiomes et une progression logique des théories qui résulte similaire aux idées initialement envisagées par Turing.

[1] Castors occupés devenus fous par Grégory Lafitte. Abstrait:

Nous montrons des résultats d'incomplétude à la Chaitin en utilisant les fonctions de castor occupé. Ensuite, à l'aide de logiques ordinales, nous montrons comment obtenir une théorie dans laquelle les valeurs des fonctions de castor occupées peuvent être établies de manière prouvable et l'utiliser pour révéler une structure sur la prouvabilité des valeurs de ces fonctions.

Les théorèmes de la hiérarchie du temps et de l' espace de Hartmanis-Stearns prouvent qu'il n'y a pas de fonction de "croissance la plus rapide" en termes de temps ou d'espace parce que l'échelle est illimitée. Mais il donne un ordre tel que toutes les fonctions calculables / récursives "bien comportées" peuvent être comparées. Mais de nombreuses fonctions mathématiques à "croissance rapide" ne semblent pas avoir été évaluées en termes de complexité temps / espace jusqu'à présent, bien qu'il s'agisse d'un "vide" théorique quelque peu évident ou même flagrant à combler. Cela pourrait conduire à d'importants «théorèmes de pont».